- МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА
- группа Г всех дробно-линейных преобразований
вида
где
- целые рациональные числа. М. г. отождествляется с факторгруппой
,
и является дискретной подгруппой в группе Ли
. Здесь
(соответственно
) - группа матриц
- действительные (соответственноцелые) числа,
М. г. является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости
(плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими
и соотношениями
, т. е. является свободным произведением циклич. группы порядка 2, порожденной S, и циклич. группы порядка 3, порожденной ST (см. [2]).
Интерес к М. г. связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью к-рых является фактор-пространство HIT, отождествляемое с фундаментальной областью GМ. г. Компактификация
аналитически изоморфна комплексной проективной прямой, причем изоморфизм задается основной модулярной функцией
. Фундаментальная область Gимеет конечную площадь Лобачевского
т. е. М. г. есть фуксова группа 1-го рода (см. [3]). Для решетки
решетка
, эквивалентна
, т. е. получается из
умножением элементов последней на ненулевое комплексное число
Каждой решетке соответствует комплексный тор
, аналитически эквивалентный неособой кубич. кривой (эллиптич. кривой). Это дает взaимнooднoзначное соответствие между точками факторпространства
, классами эквивалентных решеток и классами (аналитически) эквивалентных эллиптич. кривых (см. [3]).
Исследование подгруппы М. г. представляет интерес в теории модулярных форм и алгебраических кривых. Главной конгруэнц-подгруппой
М. г. уровня
(N - целое число) наз. группа преобразований
вида (1), у к-рых
,
. Подгруппа
наз. конгруэнцподгруппой, если
для нек-рого числа N;наименьшее такое Nназ. уровнем
Примеры конгруэнц-подгрупп уровня N:группа
преобразований (1) с с, делящимся на N, группа
преобразований (1) с
и
. Индекс подгруппы
в М. г. равен
если N>2, р - простые числа и 6, если N-2, поэтому каждая конгруэнцтподгруппа имеет конечный индекс в М. г.
Каждой подгруппе
конечного индекса в М. г. соответствует полная алгебраич. кривая
( модуляр ная кривая), полученная из факторпространства
, и накрытие
. Изучение ветвления этого накрытия позволяет найти для конгруэнц-подгрупп Г образующие и соотношения, род кривой
и доказать, что существуют подгруппы конечного индекса в М. г., не являющиеся конгруэнц-подгруппами (см. [3], [8], [7] т. 2). Изучение представлений М. г. началось в работах (см. [4], [6]) в связи с теорией модулярных форм. Такие представления интенсивно изучаются в рамках теории автоморфных форм (см. [7]). Многие результаты, относящиеся к М. г., переносятся на случай арифметич. подгрупп в алгебраич. группах Ли.
Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968: [2] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972; [3] Шимура Г., Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, пер. с англ., М., 1973; [4] Неске Е., Mathematische Werke, 2 Aufl., Gott., 1970, S. 789- 918; to] Klein F., Fricke R., Vorlesungen ilber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd 1-2, Lpz., 1890-92; [6] Kloosterman H. D., "Ann. Math.", 1946, v. 47, p. 317- 447; [7] Modular functions of one variable, [v.] 1-6, B.- Hdlb.- N. Y., 1973-77; [8] Rankin R., Modular forms and functions, Camb., 1977.
А. А. Панчишпин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.