ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ ГРУППА

ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ ГРУППА

- связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Связная группа Ли пелупроста тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли полупроста. Связная группа Ли Gназ. п р о с т о й, если ее алгебра Ли проста, т. е. если Gне содержит нетривиальных связных нормальных делителей, отличных от G. Связная группа Ли является полупростой тогда и только тогда, когда она разлагается в локально прямое произведение простых неабелевых нормальных делителей.

Классификация Ли п. г. сводится к локальной классификации, т. е. к классификации Ли полупростых алгебр, а также к глобальной классификации групп Ли G, отвечающих заданной полупростой алгебре Ли

В случае групп Ли над полем комплексных чисел основной результат локальной классификации состоит в том, что всякая односвязная простая неабедева комплексная группа Ли изоморфна одной из групп (универсальная накрывающая группы (см. Классическая группа).или же одной из особых комплексных групп Ли (см. Ли особая алгебра). Глобальная классификация групп Ли, отвечающих полупростой алгебре Ли над выглядит следующим образом. Пусть - подалгебра Картана в - система корней алгебры относительно Каждой Ли п. г. Gс алгеброй Ли соответствует решетка являющаяся ядром экспоненциального отображения ехр: В частности, если G односвязна, то Г (С) совпадает с решеткой порожденной элементами _ (см. Ли полупростая алгебра), а если G - группа без центра (присоединенная группа), то Г (G) есть решетка


В общем случае Для любой аддитивной подгруппы удовлетворяющей условию С существует единственная с точностью до изоморфизма связная группа Ли Gс алгеброй Ли такая, что Г(G)=М. При этом центр группы Gизоморфен Г 1/Г(G), а фундаментальная группа

Факторгруппа (центр односвязной группы Ли с алгеброй Ли ) конечна и для различных типов простых алгебр Ли имеет следующий вид:

Порядок группы Г 10 совпадает с числом вершин расширенной диаграммы простых корней алгебры при отбрасывании к-рых получается диаграмма простых корней. Аналогичная классификация имеет место для компактных вещественных Ли п. г., каждая из к-рых вкладывается в единственную комплексную Ли п. г. в качестве максимальной компактной подгруппы (см. Ли компактная группа).

Глобальная классификация некомпактных вещественных Ли п. г. может быть проведена аналогично, но более сложным образом. В частности, центр односвязной группы Ли, отвечающей полупростой алгебре Ли над можно вычислить следующим способом. Пусть - Картана разложение, где - максимальная компактная в подалгебра, а - ее ортогональное дополнение относительно формы Киллинга, - соответствующий инволютивный автоморфизм, продолженный в - подалгебра Картана в содержащая подалгебру Картана - автоморфизм алгебры совпадающий с на корнях относительно и продолженный на корневые векторы соответствующим образом, - разложение Картана вещественной формы отвечающей Тогда (см. [3], где эта группа вычислена для всех типов простых алгебр над ).

Всякая комплексная Ли п. г. Gобладает единственной структурой аффинной алгебраич. группы, согласованной с заданной на ней аналитич. структурой, причем любой аналитич. омоморфизм группы G в алгебраич. группу является рациональным. Соответствующая алгебра регулярных функций на G совпадает с алгеброй голоморфных представляющих функций.

С другой стороны, некомпактная вещественная Ли п. г. не всегда допускает точное линейное представление - простейшим примером является односвязная группа Ли, соответствующая алгебре Ли Если - полупростая алгебра Ли над то в центре односвязной группы G0, отвечающей существует наименьшая подгруппа называемая линеаризатором, такая, что изоморфна линейной Ли п. г. Если - компактная вещественная форма алгебры то

(см. [3], где эта группа вычислена для всех типов простых алгебр Ли ).

Лит.:[1] Адамс Д ж., Лекции по группам Ли, пер. с англ., М., 1979; [2] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [3] С и р о т а А. И., Солодовников А. С., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 3, о. 87 - 144. А. Л. Опищик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • Полупростая группа Ли — Полупростая группа Ли  связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Примеры Примеры полупростых групп ли (См также Dynkin diagram) …   Википедия

  • Полупростая группа — Ли  связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей …   Википедия

  • ПОЛУПРОСТАЯ ГРУППА — (в смысле нек рого радикала) группа, радикал к рой совпадает с единичной подгруппой. Таким образом, понятие П. г. целиком определяется выбором радикального класса групп. В теории конечных групп и групп Ли под радикалом обычно понимают наибольшую… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — связная линейная алгебраич. группа положительной размерности, содержащая лишь тривиальные разрешимые (или, что равносильно, абелевы) связные замкнутые нормальные подгруппы. Факторгруппа связной неразрешимой линейной алгебраич. группы по радикалу… …   Математическая энциклопедия

  • Полупростая — Полупростой элемент Полупростая группа Ли …   Википедия

  • ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… …   Физическая энциклопедия

  • ЛИ ГРУППА — группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана литично. Другими словами, Ли г. это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз.… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОСТАЯ ГРУППА — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы. Описание всех простых конечных групп является центральной проблемой в теории конечных групп. В теории бесконечных групп значение П. г. значительно меньше ввиду …   Математическая энциклопедия

  • ШЕВАЛЛЕ ГРУППА — линейная алгебраич. группа над нек рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть Ли полупростая алгебра над ее подалгебра Картана, система корней алгебры относительно система простых корней, базис Шевалле алгебры его линейная… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ КОМПАКТНАЯ ГРУППА — компактная группа, являющаяся конечномерной вещественной группой Ли. Ли к. г. могут быть охарактеризованы как конечномерные локально связные компактные топологич. группы. Если G0 связная компонента единицы Ли к. г. С, то группа связных компонент… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»