- УОЛЛА ГРУППА
- - абелева группа, к-рая сопоставляется кольцу с инволюцией, являющейся антиизоморфизмом. В частности, она определена для группового кольца
где
- фундаментальная группа пространства. Если X - Пуанкаре комплекс, то в этой группе определяются препятствия к существованию простой гомотонич. эквивалентности в классе бордизмов из
Это препятствие наз. Уолла инвариантом, см. [1].
Пусть R - кольцо с инволюцией:являющейся антиизоморфизмом, т. е.
Если Р - левый R-модуль, то HomR (P, R) является левым R-модулем относительно действия
Этот модуль обозначается через Р*. Для конечнопорожденного проективного R-модуля Римеется изоморфизм
и можно отождествить Ри Р** по этому изоморфизму.
Квадратичной (-1)k -формой над кольцом с инволюцией R наз. парагде Р - конечнопорожденный проективный R-модуль, а
- такой гомоморфизм, что
Морфизмом форм
наз. гомоморфизм
для к-рого
Если
- изоморфизм, то форма
наз. невырожденной. Лагранжевой плоскостью невырожденной формы наз. прямое слагаемое
для к-рого
Если
- прямое слагаемое, и
то Lназ. сублагранжевой плоскостью. Лагранжевы плоскости L, G формы
наз. дополнительными, если L+G=P и
Пусть L - проективный R-модуль. Невырожденная (-1)k -форманаз. гамильтоновой, а
и
- ее дополнительными лагранжевыми плоскостями. Если L - лагранжева плоскость формы
то она изоморфна гамильтоновой форме
Выбор дополнительной к Lлагранжевой плоскости равносилен выбору изоморфизма
при к-ром эта дополнительная плоскость отождествляется с L*.
Пусть- абелева группа, порожденная классами эквивалентности (при изоморфизме) невырожденных квадратичных ( -1)k -форм
с соотношениями: 1)
2)
если
имеет лагранжеву плоскость. Тройка (Н; F, L), состоящая из невырожденной (-1)k -формы Ни пары лагранжевых плоскостей F, L, наз. (-1)k -формацией. Формация наз. тривиальной, если Fи Lдополнительны, и элементарной, если существует лагранжева плоскость формы Н, дополнительная и к F, и к L. Тривиальная формация
G, G )наз. гамильтоновой. Изоморфизмом формаций
наз. изоморфизм форм
для к-рого f(F) = Fl, f(L) = L1. Всякая тривиальная формация изоморфна гамильтоновой.
Пусть U2k+1(R)- абелева группа, порожденная классами эквивалентности (при изоморфизме) (-1)k -формаций, со следующими соотношениями:1)
2)
если формация элементарна или тривиальна. Группы Un(R)и наз. группами Уолла кольца R.
Лит.:[1] Wall С. Т. С., Surgery on compact manifolds, L.- N. Y., 1970; [2] Raniсki A., лProc. bond. Math. Soc.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.