ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД

ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида

или в комплексной форме

где a_k, b_k или, соответственно, c_k наз. коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения

В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о свободном колебании струны возник вопрос о возможности представления функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий, лучших аналитиков того времени - Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д'Аламбера (J. D'Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu1ег). Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитич. аданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость для функции, графиком к-рой является достаточно произвольная кривая, построить Т. р., представляющий эту функцию. Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математич. анализа вообще,- представление функций рядами Тейлора и аналитич. родолжение функций, использование расходящихся рядов, перестановка пределов, бесконечные системы уравнений, интерполирование функций многочленами и др.
И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория Т. р. служила источником новых идей математи. <ч. анализа и влияла на развитие др. его разделов. Существенную роль играли исследования по Т. р. в построении интегралов Римана и Лебега. Теория функций действительного переменного возникла и развивалась затем в тесной связи с теорией Т. р. Как обобщения теории Т. р. появились интеграл Фурье, почти периодические функции, общие ортогональные ряды, абстрактный гармонический анализ. Исследования по Т. р. послужили исходным пунктом при создании теории множеств. Т. р. являются мощным средством представления и исследования функций.
Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решен в 1807 Ж. Фурье (J. Fourier), указавшим формулы для вычисления коэффициентов Т. р. (1), к-рый должен . представлять на функцию f(x):

и применившим их при решении задач теплопроводности. Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро (A. Clairaut, 1754), а Л. Эйлер (1777) приходил к ним с помощью почленного интегрирования. Т. р. (1), коэффициенты к-рого определяются по формулам (2), наз. рядом Фурье функции f, а числа а _k, b_k- коэффициентами Фурье.
Характер получаемых результатов зависит от того, как понимается представление функции рядом, как понимается интеграл в формулах (2). Современный вид теория Т. р. приобрела после появления интеграла Лебега.
Теорию Т. р. можно условно разделить на два больших раздела - теорию Фурье рядов, в к-рой предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье нек-рой функции, и теорию общих Т. р., где такое предположение не делается. Ниже указываются основные результаты, полученные в теории общих Т. р. (при этом мера множеств и измеримость функций понимаются по Лебегу).
Первым систематич. исследованием Т. р., в к-ром не предполагалось, что эти ряды являются рядами Фурье, была диссертация В. Римана (В. Riemann, 1853). Поэтому теорию общих Т. р. наз. иногда римановской теорией Т. р.
Для изучения свойств произвольного Т. р. (1) со стремящимися к нулю коэффициентами Б. Риман рассматривал непрерывную функцию F(х), являющуюся суммой равномерно сходящегося ряда

полученного после двукратного почленного интегрирования ряда (1). Если ряд (1) сходится в нек-рой точке хк числу s, то в этой точке существует и равна s вторая симметрич. производная функции F:

Так как

то это приводит к суммированию ряда (1), порождаемому множителями наз. методом суммирования Римана. С помощью функции Fформулируется принцип локализации Римана, согласно к-рому поведение ряда (1) в точке хзависит только от поведения функции Fв произвольно малой окрестности этой точки.
Если Т. р. сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю (теорема Кантора - Лебега). Стремление к нулю коэффициентов Т. р. следует также из его сходимости на множестве второй категории (У. Юнг, W. Young, 1909).
Одной из центральных проблем теории общих Т. р. является задача о представлении произвольной функции Т. р. Усилив результаты Н. Н. Лузина (1915) о представлении функций Т. р., суммируемыми почти всюду методами Абеля - Пуассона и Римана, Д. Е. Меньшов доказал (1940) следующую теорему, относящуюся к наиболее важному случаю, когда представление функции f понимается как сходимость Т. р. к f(x)почти всюду. Для каждой измеримой и конечной почти всюду функции f существует Т. р., сходящийся к ней почти всюду (теорема Меньшова). Следует отметить, что если даже функция f интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять ряд Фурье функции f, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.
Приведенная теорема Меньшова допускает следующее уточнение: если функция f измерима и конечна почти всюду, то существует такая непрерывная функция что почти всюду и почленно продифференцированный ряд Фурье функции j сходится к f(х)почти всюду (Н. К. Бари, 1952).
Неизвестно (1984), можно ли в теореме Меньшова опустить условие конечности функции f почти всюду. В частности, неизвестно (1984), может ли Т. р. сходиться почти всюду к
Поэтому задача о представлении функций, к-рые могут принимать бесконечные значения на множестве положительной меры, была рассмотрена для случая, когда сходимость почти всюду заменяется на более слабое требование - сходимость по мере. Сходимость по мере к функциям, к-рые могут принимать бесконечные значения, определяется так: последовательность частных сумм Т. p. s_n(x)сходится по мере к функции f(х). если где f_n(x)сходятся к / (х)почти всюду, а последовательность сходится по мере к нулю. В этой постановке вопрос о представлении функций решен до конца: для каждой измеримой функции существует Т. р., сходящийся к ней по мере (Д. Е. Меньшов, 1948).
Много исследований посвящено проблеме единственности Т. р.: могут ли два разных Т. расходиться к одной и той же функции; в др. формулировке: если Т. р. сходится к нулю, то следует ли отсюда, что все коэффициенты ряда равны нулю. Здесь можно иметь в виду сходимость во всех точках или во всех точках вне нек-рого множества. Ответ на эти вопросы существенно зависит от свойств того множества, вне к-рого сходимость не предполагается.
Установилась следующая терминология. Множество наз. единственности множеством или U- множеством, если из сходимости Т. р. к нулю на всюду, кроме, быть может, точек множества Е, следует, что все коэффициенты этого ряда равны нулю. В противном случае Еназ. М-множеством.
Как показал Г. Кантор (G. Cantor, 1872), пустое множество, а также любое конечное множество являются U-множествами. Произвольное счетное множество также является U-множеством (У. Юнг, 1909). С др. стороны, каждое множество положительной меры является М-множеством.
Существование М-множеств меры нуль было установлено Д. Е. Меньшовым (1916), к-рый построил первый пример совершенного множества, обладающего этими свойствами. Этот результат имеет принципиальное значение в проблеме единственности. Из существования М-множеств меры нуль следует, что при представлении функций Т. р., сходящимися почти всюду, эти ряды определяются заведомо неоднозначно.
Совершенные множества могут быть и U-множествами (Н. К. Бари; А. Райхман, A. Rajchman, 1921). В проблеме единственности существенную роль играют весьма тонкие характеристики множеств меры нуль. Общий вопрос о классификации множеств нулевой меры на М- и U-множества остается (1984) открытым. Он не решен даже для совершенных множеств.
К проблеме единственности примыкает следующая задача. Если Т. р. сходится к функции то должен ли этот ряд быть рядом Фурье функции /. П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond, 1877) дал положительный ответ на этот вопрос, если f интегрируема в смысле Римана, а ряд сходится к f(х)во всех точках. Из результатов III. Ж. Bалле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) следует, что ответ положителен и в том случае, когда всюду, кроме счетного множества точек, ряд сходится и его сумма конечна.
Если Т. р, в нек-рой точке x₀ сходится абсолютно, то точки сходимости этого ряда, а также точки его абсолютной сходимости расположены симметрично относительно точки x₀ (П. Фату, P. Fatou, 1906).
Согласно Данжуа - Лузина теореме из абсолютной сходимости Т. р. (1) на множестве положительной меры следует сходимость ряда и, следовательно, абсолютная сходимость ряда (1) для всех х. Этим свойством обладают и множества второй категории, а также нек-рые множества меры нуль.
Приведенный обзор охватывает только одномерные Т. р. (1). Имеются отдельные результаты, относящиеся к общим Т. р. от нескольких переменных. Здесь во многих случаях нужно еще найти естественные постановки задач.

Лит.:[1] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965; [3] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; [4] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 225-61.
С. А. Теляковский.