ЛАКУНАРНЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД

ряд вида

Рядом типа (1) К. Вейерштрасс (К. Weierstrass) в 1872 представил непрерывную нигде не дифференцируемую функцию. Ж. Адамар (J. Hadamard) в 1892 применил ряды (1), назвав их лакунарными, к изучению аналитич. родолжения функции. Систематич. изучение Л. т. р. началось с работы П. Фату (P. Fatou, 1906), в к-рой доказано, что из сходимости всюду Л. т. р. при l>3 следует

Л. т. р. обладают свойствами, существенно отличающими их от общих тригонометрич. рядов. Напр., А. Н. Колмогоров, построив первый пример (1923) суммируемой функции с расходящимся почти всюду рядом Фурье, в 1924 доказал сходимость почти всюду лакунарного ряда Фурье; А. Зигмунд (A. Zygmund, 1948) доказал, что если суммы двух Л. т. р. совпадают на множестве положительной меры, то эти ряды тождественны. Для многих приложений Л. т. р. важна обнаруженная Зигмундом в 30-е гг. 20 в. зависимость свойств ряда (1) от его коэффициентов. Так, если

то ряд (1) есть ряд Фурье функции f(x), принадлежащей всем пространствам и, следовательно, сходится почти всюду. При этом существуют постоянные зависящие только от ри l такие, что

Если условие (3) не выполнено, то ряд (1) расходится почти всюду и, более того, почти всюду не суммируется никаким методом Теплица (следовательно, не является рядом Фурье). Если ряд (1) сходится в каждой точке нек-рого интервала ( Т* - ограничен в каждой точке нек-рого интервала), то выполнено условие (2). Если коэффициенты ряда (1) есть то его сумма есть непрерывная гладкая функция, дифференцируемая в тех и только в тех точках, в к-рых сходится формально продифференцированный ряд (1).

Лит.:[1] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1-2, М., 1965; [3] У л ь я н о в П. Л., "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 1, с. 3-69: [4] Г а п о ш к и и В. Ф., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 6, с. 3-83; [5] Кахан Ж.-П., Случайные функциональные ряды, пер. с англ., М., 1973; [6] Kahane J.-P., Series de Fourier absolument convergentes, B. - Hdlb.- N. Y., 1970; [7] R u d i n W., Fourier analysis on groups, N. Y.- L., 1962. В. Ф. Емельянов.