СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ

дифференцированное уравнение с частными производными, к-рое в области задания принадлежит различным типам (эллиптическому, гиперболическому или параболическому).
Линейное (или квазилинейное) дифференциальное уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными переменными

и с непрерывными коэффициентами в области задания является С. т. у., если в этой области дискриминант характеристич. формы

обращается в нуль, не будучи там тождественно равным нулю.
Кривая определяемая уравнением наз. параболической линией уравнения (1), или линией вырождения (изменения) типа уравнения.
Если дискриминант в области не меняет знака при переходе точки ( х, у )через параболич. линию то уравнение (1) относится к вырожденным уравнениям эллиптико-параболического или гиперболо-параболического типа (см. Вырожденное уравнение с частными производными).
При нек-рых условиях гладкости коэффициентов А, В, С и параболич. линии существуют неособое действительное преобразование независимых переменных, приводящее уравнение (1) со знакопеременным дискрилншантом (в окрестности выбранной точки линии где к одному из следующих канонич. видов (обозначения для независимых переменных сохранены):

Уравнения (2) и (3) являются С. т. у. (эллиптико-параболич. типа) в любой области, содержащей внутри себя интервал линии вырождения y = 0.
Область задания С. т. у. принято называть смешанной областью, а краевые задачи в смешанных областях - смешанными краевыми задачами. Часть смешанной области где уравнение принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу, наз. областью эллиптичности (гиперболичности).
К отысканию определенных решений С. т. у. сводятся многие проблемы прикладного характера, в частности проблемы околозвукового течения сжимаемой среды и безмоментной теории оболочек.
С. т. у. (1) наз. уравнением первого рода (второго рода), если всюду вдоль параболич. линии характеристич. форма Уравнение Чаплыгина

где k(у) - непрерывно дифференцируемая монотонная функция такая, что yk(y)>0 при -типичный пример С. т. у. 1-го рода. При k(y) = y уравнение (4) принято называть Трикоми уравнением.
Важной моделью С. т. у. (с разрывными коэффициентами при старших производных) является уравнение Лаврентьева - Бицадзе

Одной из основных краевых задач для С. т. у. (первого рода) является задача Трикоми, к-рая для уравнения вида (2) ставится следующим образом. Пусть - конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных хи у, ограниченная простой жордановой кривой о с концами в точках А(0,0), В(1,0), лежащей в полуплоскости у>0, и частями АС и ВС характеристик уравнения (2), выходящими из точки С(1/2, у _C), y_C<0. Задача Трикоми заключается в отыскании решения и( х, у )уравнения (2), непрерывного в замыкании области и принимающего наперед заданные значения на кривой
В теории задачи Трикоми существенную роль играет принцип экстремума Бицадзе, к-рый в случае уравнения (5) гласит: решение и( х, у )уравнения (5) из класса обращающееся в нуль на характеристике АС: х+у=0, в замыкании области эллиптичности своего экстремума достигает на кривой
Этот принцип, из к-рого следует единственность и устойчивость решения задачи Трикоми, а также обоснование альтернирующего метода его отыскания, распространен на весьма широкий класс линейных и квазилинейных С. т. у. В частности, этому классу принадлежат уравнения Чаплыгина (и Трикоми), если k(у)дважды непрерывно дифференцируема и при у<0. Принцип экстремума Бицадзе остается в силе и для уравнения

Решение задачи Трикоми для уравнения (6) в соответствующей смешанной области выписывается в явном виде, если эллиптич. часть а границы этой области совпадает с т. н. нормальным контуром

В общем случае при определенных условиях на кривую и на класс искомых решений задача Трикоми для уравнения (6) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению, безусловная разрешимость к-рого следует из единственности решения. Метод интегральных уравнений успешно применяется и при доказательстве существования решения задачи Трикоми и др. смешанных задач для более общих уравнений вида

со степенным вырождением порядка
Методы теории функций и функционального анализа, особенно метод априорных оценок, позволили значительно расширить класс С. т. у. и смешанных областей, для к-рых имеет место единственность и существование (обобщенного) решения как задачи Трикоми, так и ряда др. смешанных задач.
Существенным обобщением задачи Трикоми является общая смешанная задача Бицадзе, к-рая в случае уравнения (5) ставится следующим образом. Пусть - односвязная смешанная область, ограниченная лежащей в полуплоскости у>0 простой жордановой кривой с концами в точках А(0,0), В(1, 0) и выходящими из этих точек (гладкими) монотонными кривыми Г ₀ и Г ₁, к-рые пересекаются в точке С(x₁, y₁), y₁<0. Предполагается, что кривые Г ₀ и Г ₁ принадлежат области, ограниченной характеристиками х+у =0, х-у =1и отрезком прямой у=0. Через В ₀ и В ₁ обозначены точки пересечения характеристик х-у=х ₀ и х+у=х₀ с кривыми Г ₀ и Г ₁, где х ₀ - любая фиксированная точка из полуинтервала а через и - части кривых Г ₀ и Г ₁, лежащих между точками А, В ₀ и В, В₁ соответственно. Общая смешанная задача Бицадзе заключается в отыскании регулярного (при решения уравнения (5) в области к-рое непрерывно в имеет непрерывные первые производные в при и удовлетворяет заданным краевым условиям на кривых и Единственность и существование решения этой задачи как для уравнения (5), так и для более общих уравнений доказаны при нек-рых условиях геометрия, характера на границу области особенно на кривую Общую смешанную задачу Бицадзе можно считать полностью исследованной в частном случае, когда кривая Г ₁ совпадает (х ₀=1) свыходящей из точки Вхарактеристикой ВС. Важным следствием корректности общей смешанной задачи Бицадзе, напр. для уравнения(5), является тот факт, что для смешанных областей вида Дирихле задача некорректна независимо от величины и формы области гиперболичности
Для довольно широкого класса линейных уравнений

установлено, что на корректность задачи Дирихле в соответствующих смешанных областях вида существенное влияние может оказать коэффициент а (х, у).
Смешанной задачей нового типа является задача Франкля. Пусть односвязная область ограничена: отрезком А'А, прямой х=0; гладкой кривой с концами в точках А(0, 1) и В( а,0), расположенной в квадранте х>0, y>0; отрезком прямой у=0 и проходящей через точки А'(0,- 1), С(а ₁,0) характеристикой рассматриваемого С. <т. <у., напр. уравнения (4). Задача Франкля состоит в отыскании решения и(x,у)С. т. у. в области когда на задаются значения и( х, у), а на А'А - условие

Эта задача исследована в основном для модельных С. т. у. Задача Франкля весьма полно решена для уравнения (5), если кривая такова, что где s - длина отсчитываемая от точки В( а,0).
Сформулированные основные краевые задачи для С. т. у. 1-го рода с соответствующими изменениями перенесены на С. т. у. 2-го рода. Эти изменения вызваны тем, что задача Дирихле для эллиптич. уравнений с характеристич. вырождением на части границы не всегда является корректно поставленной.
В постановке краевых задач для уравнения (1) в смешанных областях вносится новый аспект, если линия изменения типа одновременно представляет собой линию вырождения порядка уравнения, напр. в случае уравнения

где р - натуральное число, а - постоянная, удовлетворяющая неравенству
Для уравнений (5), (6), (7), помимо указанных задач, исследован также ряд принципиально новых краевых задач, к-рые в основном характеризуются тем, что вся граница области (где ставится задача Трикоми) является носителем краевых условий: на кривой задано, напр., условие Дирихле, а на - нек-рое нелокальное условие, поточечно связывающее значения искомого решения или его (дробной) производной определенного порядка. В частности, эти задачи включают простой пример корректной самосопряженной смешанной краевой задачи.
Изучаются краевые задачи для С. т. у. и систем в областях, содержащих внутри себя части нескольких линий вырождения типа или одну замкнутую параболич. линию.
Аналоги задачи Трикоми рассматривались и для яек-рого класса С. т. у. и систем с двумя независимыми переменными и уравнений высокого порядка.
Значительные затруднения возникают при отыскании правильно поставленных задач для С. т. у. с многими независимыми переменными. Тем не менее в этом направлении получен ряд важных результатов. Установлено, что для уравнения

к-рое представляет собой простую модель С. т. у. с временным образом ориентированной плоскостью z=0 вырождения типа, корректно поставленной является следующая задача. Пусть - конечная односвязная трехмерная область, ограниченная нек-рой кусочно гладкой поверхностью z=f(x, и характеристиками уравнения (8). Требуется найти непрерывную в функцию и( х, y, z) с непрерывными и производными 1-го порядка, удовлетворяющую уравнению (8) в области при и обращающуюся в нуль на и на одной из характеристик S₁ или S₂. Доказаны существование слабого и единственность сильного решения этой задачи и для более общего уравнения

где - оператор Лапласа по переменным х ₁, . . ., х_n. Для уравнения

с пространственно ориентированной гиперплоскостью x₀=0вырождения типа и порядка в смешанной области специального вида поставлены и исследованы краевые задачи, в к-рых часть границы лежащая в полупространстве x₀<0, является носителем данных и(х ₀, х), а лежащая в полупространстве х ₀>0часть границы (характеристич. коноид уравнения (9)) - носителем нек-рых интегральных средних для и(х ₀, х). Исследовались и другие модельные С. т. у. в трехмерных ограниченных и неограниченных областях, в т. ч. уравнения

Найден также критерий единственности решения задачи Дирихле для широкого класса самосопряженных С. т. у. в цилиндрич. областях.

Лит.:[1] Берс Л., Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, пер. с англ., М., 1961; [2] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; 13] его же, К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа, в сб.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М., 1972; [4] Бицадзе А. В., Нахушев А. М., лДокл. АН СССР