- СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
- задачи отыскания решений
и( х, t) = (u1(x, t),..., и т( х, t)
в области Dевклидова пространства
=(x1, . . ., х п, t) - точка пространства 
) параболич. системы уравнений или при m =1параболич. уравнения, удовлетворяющих нек-рым дополнительным условиям на границе 
(или на ее части) области D. Пусть 
- область пространства 
с достаточно гладкой границей 
a D- цилиндр 
с боковой поверхностью 
нижним основанием 
и верхним основанием 
Смешанные задачи для линейной параболической по Петровскому системы 
в цилиндре Dзаключаются в отыскании решений этой системы, удовлетворяющих начальному условию
и краевому условию 
где
прямоугольная матрица с элементами 
Пусть рассматриваемая система равномерно параболична.
Классич. решением смешанной задачи (1) - (3) наз. вектор-функция и( х, t), принадлежащая
где q=max qi,j при
и удовлетворяющая в Dсистеме (1), а на 
и Г - условиям (2) и (3) соответственно. Иногда рассматриваются обобщения понятия классич. решения; в частности, при определении классич. решения можно отказаться от требования непрерывности в точках из 
заменив его условием ограниченности решения в D.
Если для рассматриваемой задачи выполнено дополнительности условие (условие Лопатинского), то (пусть для простоты область
ограничена) при достаточной гладкости данных задачи (коэффициентов в (1) и (3) и вектор-функций 
и выполнения согласований условий существует и единственно классич. решение.
Основными сметанными задачами для общего линейного равномерно параболич. уравнения 2-го порядка
являются задачи отыскания решений этого уравнения, удовлетворяющих начальному условию
и одному из краевых условий
- первая смешанная задача, или
- вторая смешанная задача, или
- третья смешанная задача, где N - конормаль эллиптич. оператора L.
Каждая из этих задач удовлетворяет дополнительности условию и, следовательно, при достаточной гладкости данных задачи и выполнении условий согласования имеет классич. решение; это решение может быть получено с помощью метода потенциала, метода конечных разностей, Галеркина метода, а в случае, когда функции ai,j, i=l, . . ., n, j=1, . . ., п, с,
не зависят от t, bi=0, i=l, . . ., n, и с помощью Фурье метода. Для разрешимости, напр., первой смешанной задачи для уравнения (1) достаточно потребовать, чтобы коэффициенты уравнения принадлежали пространству Гёльдера 
при нек-ром 
и, кроме того, коэффициенты 
имели принадлежащие 
производные 
i=l, . . ., п, j=l, . . ., п, функция f(x, t )принадлежала 
функции 
и 
были непрерывны соответственно на 
и 
и 
При этом достаточно, чтобы граница 
области 
удовлетворяла следующему условию; для любой точки 
существует замкнутый шар S, имеющий единственную общую точку с 
- точку 
Аналогичное утверждение при нек-рых условиях на боковую поверхность (пусть боковая поверхность не содержит характеристич. точек - точек касания с плоскостями t=const) справедливо и в случае нецилиндрич. области D.
Теоремы существования основных смешанных задач для уравнения (Г) справедливы и при других требованиях на заданные функции и область
Напр., решение первой смешанной задачи в цилиндрич. области Dдля однородного теплопроводности уравнения с непрерывными функциями 
и 
удовлетворяющими условию согласования 
существует, если область 
такова, что Дирихле задача для Лапласа уравнения разрешима в 
(существует классич. решение) при произвольной непрерывной граничной функции.
Пусть коэффициенты а i,j, bi, сизмеримы и ограничены в D, а функция о измерима и ограничена на Г,
функция 
в случае первой смешанной задачи является следом на Г нек-рой функции из Соболева пространства 
а в случае третьей (и второй) смешанной задачи принадлежат L2(T).
Принадлежащая пространству
функция и( х, t), след к-рой на Г равен 
наз. обобщенным решением первой смешанной задачи (1'), (2'), (4), если она удовлетворяет интегральному тождеству 
при всех r из пространства Соболева
удовлетворяющих условиям 
Принадлежащая пространству
функция и( х, t )наз. обобщенным решением третьей (второй, если 
смешанной задачи (1), (2), (6), если она удовлетворяет интегральному тождеству 
при всех vиз
удовлетворяющих условию 
Обобщенное решение каждой из этих задач существует, единственно и, если
при достаточно большом р, непрерывно в Dи даже удовлетворяет условию Гёльдера с нек-рым показателем 
При увеличении гладкости заданных функций и границы области и при выполнении условий согласования увеличивается гладкость обобщенного решения. Так, напр., пусть для уравнения теплопроводности 
и 
и 
является достаточно гладкой поверхностью; обобщенное решение первой смешанной задачи принадлежит 
если 
и выполнены условия согласования 
В частности, если
то решение принадлежит 
для 
удовлетворяет уравнению теплопроводности и его след на 
равен нулю; если 
при достаточно большом s и выполнены условия согласования (7), то в силу вложения теорем обобщенное решение является классическим. Аналогичное утверждение справедливо и для обобщенных решений основных смешанных задач для уравнения (1') при достаточной гладкости коэффициентов.
Пусть
задача отыскания решения в полосе 
параболич. системы уравнений (1), удовлетворяющих на характеристике 
начальному условию (2), наз. Коши задачей для уравнения (1). Классич. решением задачи Коши (1), (2) наз. вектор-функция и( х, t), принадлежащая 
и удовлетворяющая в Dсистеме (1), а на 
- начальному условию (2). Если правая часть f( х, t )принадлежит пространству Гёльдера 
при нек-ром 
а коэффициенты - достаточно гладкие в 
ограниченные вместе со своими производными функции, то для любой непрерывной и ограниченной в 
начальной вектор-функции 
существует ограниченное в Dрешение задачи Коши и ограниченное решение задачи Коши единственно.
Условие ограниченности может быть заменено условием лне слишком быстрого роста
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
