АБЕЛЕВА КАТЕГОРИЯ

- категория, обладающая рядом характерных свойств категории всех абелевых групп. А. к. были введены как основа абстрактного построения гомологич. алгебры (см. [4]). Категория наз. абелевой (см. [2]), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

А0. Существует нулевой объект.

А1. Каждый морфизм обладает ядром и коядром.

А2. Каждый мономорфизм является нормальным мономорфизмом, каждый эпиморфизм является нормальным эпиморфизмом.

A3. Для каждой пары объектов существуют произведение и копроизведение.

Часто в определении А. к. дополнительно предполагается, что локально малая слева категория (см. Малая категория). Для А. к. это предположение равносильно локальной малости справа и, следовательно, локальной малости. Копроизведение объектов A и B А. к. наз. также прямой суммой этих объектов и обозначают или

Примеры А. к.

1) Категория, двойственная А. к., также является А. к.

2) Категория всех левых унитарных модулей над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей и всех R-модульных гомоморфизмов является А. к. (напр., категория всех абелевых групп).

3) Всякая полная подкатегория А. к., содержащая вместе с каждым морфизмом его ядро и коядро и вместе с каждой парой объектов А, В - их произведение и копроизведение, есть А. к.

Все малые А. к. исчерпываются подкатегориями указанного типа категорий левых унитарных модулей, а именно, справедлива следующая теорема Митчелла: для всякой малой А. к. существует полное точное вложение в нек-рую категорию

4) Всякая категория диаграмм со схемой над А. к. является А. к. В схеме можно выделить множество Ссоотношений коммутативности, т. е. множество пар путей

в с общими началом и концом. Тогда полная подкатегория категории порожденная всеми такими диаграммами D: что

является А. к. В частности, если - малая категория, а множество Ссостоит из всех пар вида где то соответствующая подкатегория является А. к. одноместных ковариантных функторов из

Пусть в малой категории есть нулевой объект; функтор F: наз. нормализованным, если он переводит нулевой объект в нулевой объект. Полная подкатегория категории функторов, порожденная нормализованными функторами, является А. к. В частности, если - категория, объектами к-рой служат все целые числа и нулевой объект N, а ненулевые неединичные морфизмы образуют последовательность

в к-рой то соответствующая подкатегория, порождаемая нормализованными функторами, наз. категорией комплексов над В категории комплексов определяются аддитивные функторы соответственно n-мерных циклов, n-мерных граней и n-мерной гомологии со значениями в и на их основе развивается аппарат гомологич. алгебры.

5) Полная подкатегория А. к. наз. плотной, если она содержит подобъекты и факторобъекты своих объектов и если в точной последовательности

тогда и только тогда, когда Факторкатегория строится следующим образом. Пусть - подобъект прямой суммы с проекциями и пусть квадрат

коуниверсален (т. е. является корасслоенным произведением). Подобъект наз. -подобъектом, если Coker Два -подобъекта эквивалентны, если они содержат нек-рый -подобъект. Множество состоит по определению из классов эквивалентных -подобъектов. Обычное умножение бинарных отношений согласовано с введенной эквивалентностью, что позволяет построить факторкатегорию являющуюся А. к. Точный функтор определяется сопоставлением каждому морфиз-му его графика в Подкатегория наз. подкатегорией локализации, если функтор Тобладает полным унивалентным сопряжением справа функтором

6) Для всякого топология, пространства Xкатегория левых G-модулей над X, где G - пучок колец с единицей над X, является А. к.

Во всякой А. к. можно ввести частичное суммирование морфизмов таким образом, что станет аддитивной категорией. Поэтому в А. к. произведение и ко-произведение любой пары объектов совпадают. Более того, в определении А. к. можно предполагать существование либо произведений, либо копроизведений. Всякая А. к. есть бикатегория с единственной бикате-горной структурой. Перечисленные свойства характеризуют А. к.: категория с конечными произведениями является абелевой тогда и только тогда, когда она аддитивна и когда всякий морфизм имеет ядро и коядро и разлагается в произведение

в к-ром - изоморфизм.

Приведенная выше теорема Митчелла обосновывает метод "диаграммного поиска" в А. к.: всякое утверждение о коммутативных диаграммах, справедливое во всех категориях левых модулей и вытекающее из точности нек-рых последовательностей морфизмов, справедливо во всех А. к.

В локально малой А. к. -подобъекты любого объекта образуют дедекиндову решетку. Если в существуют произведения (или копроизведения) любого семейства объектов, то эта решетка и оказывается полной. Перечисленные условия заведомо выполняются, если в имеется образующий объект Uи существуют копроизведения

для любого множества I. Таковы, напр., Гротендика категории, эквивалентные факторкатегориям категорий модулей по подкатегориям локализации (теорема Габриеля - Попеску).