Универсальная обёртывающая алгебра

Универсальная обёртывающая алгебра

В математике, для любой алгебры Ли L можно построить её универсальную обёртывающую алгебру U(L). Эта конструкция приводит от неассоциативной структуры L к (более привычной, и возможно более простой в обращении) унитарной ассоциативной алгебре, которая перенимает важные свойства L.

Чтобы понять основную идею данной конструкции, во-первых следует отметить, что ассоциативная алгебра А над полем К становится алгеброй Ли над К со скобкой Ли:

[a,b] = abba.

То есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли AL.

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли L над K находят «наиболее общую» ассоциативную K-алгебру A такую, что алгебра Ли AL содержит L, это алгебра U(L). Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления L соотносятся точь-в-точь так же как и модули над U(L). В типичном контексте, где L задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы U(L) действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Содержание

Мотивация

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление \rho ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор \rho(x) . Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения \rho(x)\rho(y) . Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить \rho(x)\rho(y)=0 , в то время как в другом представлении это произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойство

Пусть L — произвольная алгебра Ли над K. Задав гомоморфизм унитальной ассоциативной K-алгебры U и алгебры Ли:

h: LUL,

будем говорить, что U 'универсальная обёртывающая алгебра алгебры L, если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого гомоморфизма унитальной ассоциативной K-алгебры A и алгебры Ли

f: LA

существует единственный гомоморфизм унитальной алгебры

g: ULA

такой, что

f = gh.

Это универсальное свойство выражает то, что функтор, отображающий L в её универсальную обёртывающую алгебру, левосопряжённый к функтору отображающий унитальную алгебру A в её алгебру AL.

Прямое построение

Из этого универсального свойства, можно доказать, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным образом определяется алгеброй L (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры T(L) на векторном пространстве алгебры L, мы получаем U(L) факторизацией T(L) посредством соотношений:

 a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

для любых a и b в L, где скобки в правой части выражения обозначают лиево произведение в L.

Формально мы определили

U(L) = T(L)/I

где I — двусторонний идеал T(L) порождённый элементами вида

 a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in L.

Естественное отображение LT(L) сводится к отображению h : LU(L), и именно этот гомоморфизм алгебры Ли используется в вышепривёденном универсальном свойстве.

Аналогичная конструкция для супералгебр Ли очевидна.

Частные примеры

Если L абелева (то есть, скобка всегда 0), то U(L) — коммутативна; если выбран базис векторного пространства L, то U(L) может рассматриваться как алгебра полиномов над K, с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если L — алгебра Ли группы Ли G, U(L) может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на G, c L лежащей внутри неё в качестве левоинвариантного векторного поля дифференциальных операторов первого порядка.

Относительно двух приведённых случаев: если L — это векторное пространство V как абелева алгебра Ли, то дифференциальные операторы являются операторами с постоянными коэффициентами, которые на самом деле являются алгеброй полиномов в частных производных первого порядка.

Центр U(L) обозначается Z(L) и состоит из лево и правоинвариантных дифференциальных операторов; он в случае некоммутативности G не будет порождаться операторами первого порядка (смотри например оператор Казимира).

Другая характеристика в теории групп Ли U(L) — это алгебра со свёрткой обобщённых функций с носителем только на единичном элементе e группы G.

Алгебра дифференциальных операторов в n переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена начиная с лиевой алгебры группы Гейзенберга. (Для этого смотри алгебра Вейля.) Нужно факторизовать так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структуры

Фундаментальная теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта даёт точное описание U(L); наиболее важное следствие из неё это то, что L может рассматриваться как линейное подпространство U(L). Более точно: каноническое отображение h : LU(L) всегда инъективно. Более того, U(L) порождается L как унитальная ассоциативная алгебра.

L действует на себе как присоединённое представление алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление L на U(L): L действует как алгебра производных на T(L), и это действие уважает наложенные соотношения, так она фактически действует на U(L). (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы U(L), инвариантные под действием L (то есть действие на них любого элемента L дает ноль), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр это часть пары сопряжённых функторов. U — функтор из категории алгебр Ли над K в категорию унитальных ассоциативных K-алгебр. Этот функтор — левосопряженный к функтору, который отображает алгебру А в алгебру AL. Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию AL: если начать с ассоциативной алгебры A, то U(AL) не равна A; она значительно больше.

Сведения, о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений L изоморфна абелевой категории всех левых модулей U(L).

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры несут естественные коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.

Ссылки

  • Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6
  • Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.:Мир, 1969.
  • Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления — 2-е изд., доп. — М.:МЦНМО, 2007. — 552 с. ISBN 978-5-94057-302-9

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно решить контрольную?

Полезное



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»