- ЛОКАЛИЗАЦИЯ
в категориях - специальная конструкция, связанная со .специальными радикальными подкатегориями; она впервые появилась в абелевых категориях для описания т. н. Гротендика категорий с помощью категорий модулей над ассоциативными кольцами с единицей. Пусть
- абелева категория. Полная подкатегория 
категории 
наз. плотной, если она содержит все подобъекты и фак-торобъекты своих объектов н замкнута относительно расширений, т. е. в точной последовательности
тогда и только тогда, когда А,
Факторкатегория
строится следующим образом. Пусть 
- подобъект прямой суммы 
где
- проекции, и пусть квадрат
коуниверсален. Подобъект
наз. 
-подобъектом, если 
Два 
-подобъекта эквивалентны, если они содержат нек-рый 
-подобъект. Множество 
состоит, по определению, из классов эквивалентных 
-подобъектов прямой суммы 
Обычное умножение бинарных отношений в абелевой категории согласовано с введенной эквивалентностью, что позволяет определить факторкатегорию 
Эта факторкатегория оказывается абелевой категорией. Точный функтор 
можно задать, сопоставляя каждому морфизму 
его график в 
Подкатегория 
наз. подкатегорией локализации, если функтор Тобладает полным сопряженным справа функтором 
Подкатегория Л. всегда является подкатегорией всех радикальных объектов нек-рого наследственного радикала.
В категории абелевых групп подкатегория всех периодич. групп есть подкатегория Л. Факторкатегория любой категории модулей по подкатегории Л. является категорией Гротендика. Обратно, всякая категория Гротендика эквивалентна нек-рой фактор-категории подходящей категории модулей.
Понятие подкатегории Л. можно определить и для неабелевых категорий [3]. Однако в неабелевом случае таких подкатегорий обычно мало. Напр., в категории всех ассоциативных колец имеется только две тривиальные подкатегории Л.- вся категория и ее полная подкатегория, содержащая только нулевые кольца.
Лит.:[1] Б у к у р И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Gabriel P., "Bull. Soc. math. France", 1962, t. 90, p. 323-448; [3] Шульгейфер Е. Г., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1968, т. 19, с. 271 - 301. М. Ш. Цаленко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
