РИССА СИСТЕМА

РИССА СИСТЕМА

- понятие теории ортогональных систем Пусть фиксирована в пространстве L2=L2 ( а,b )полная система функций {yn}. Ее считают нормированной или, более общо, почти нормированной, т. е. допускают наличие чисел m> 0 и М >0, при к-рых для всех .


Ослабляя требования ортогональности системы {yn}, предполагают, что существует полная в L2 система функций {gn} и такая, что (yn, gn)=1, (yn, gm)=0 Для всех . В частном случае, когда система {$} ортонормирована, gn-^tyn для всех " . Если ряд


сходится в L2 к функции f, то а п=(f, gn )при всех . Поэтому имеет смысл называть число а n= (f, gn) n- коэффициентом Фурье функции f по системе {yn}. В доказательстве ряда теорем теории ортогональных рядов играют важную роль неравенство Бесселя и теорема Рисса-Фишера. В общем случае эти теоремы не верны, и поэтому приходится выделять специальный класс Р. с. с помощью следующих требований к системе {yn}.

1) Для любой функции f сходится ряд из квадратов коэффициентов Фурье, т. е.


2) Для любой последовательности чисел существует функция f, имеющая числа а п своими n-коэффициентами Фурье по системе {yn}, то есть а п=(f,gn )Для всех .

Первое требование к системе {yn} заменяет неравенство Бесселя, второе - теорему Рисса - Фишера. Н. К. Бари доказала (см. [2]), что система {yn} есть Р. с. тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный обратимый в L2 оператор Атакой, что система функций {Ayn} является полной и ортонормированной. Поэтому Р. с. наз. также базисом Рисса, эквивалентным ортонормированному. Н. К. Бари указала удобный критерий для Р. с. Полная в L2 система функций {yn} является Р. с. тогда и только тогда, когда матрица Грама определяет линейный непрерывный обратимый оператор в l2. Если в Р. с. переставить произвольно члены, то получится Р. с. Обратно, если базис в L2 остается базисом после любой перестановки его членов, то, нормируя его, получают Р. с. Естественное обобщение Р. с. получают, если заменить L2 на замыкание линейной оболочки системы {yn} по норме того гильбертова пространства, из к-рого взяты элементы yn (см. [4]).

Лит.:[1] Б а р и Н. К., "Докл. АН СССР", 1946, т. 54, с. 383-86; [2] е е ж е, "Уч. зап. МГУ", 1951, в. 148, № 4, с. 69-107; [3] Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., 1965; [4] Г а п о ш к и н В. Ф., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 6, с. 3-82. В. Ф. Емельянов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "РИССА СИСТЕМА" в других словарях:

  • РИССА БАЗИС — см. Рисса система …   Математическая энциклопедия

  • РИССА - ФИШЕРА ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая связь между пространствами l2 и L2.[а, b]:если система функций ортонормирована на отрезке [ а, b], а последовательность чисел такова, что (то есть ), то существует функция , для к рой При этом функция f(t)единственна как… …   Математическая энциклопедия

  • РИССА НЕРАВЕНСТВО — 1) Пусть {jn} ортонормированная система функций на отрезке [ а, b], почти всюду на [ а, b]для любого п. а) Если , то ее коэффициенты Фурье удовлетворяют н е р а в е н с т в у Р и с с а б) Для любой последовательности , существует функция …   Математическая энциклопедия

  • Базис Рисса — Система Рисса с постоянными A и B такая система векторов в гильбертовом пространстве H , что для любой последовательности комплексных чисел ряд сходится по норме в H, причем , Базис Рисса такая система Рисса, которая является базисом в H (базисом …   Википедия

  • ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА — 1) О. с. векторов множество ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением (. , .) такое, что при (ортогональность) и (нормируемость). М. И. Войцеховский. 2) О. с. ф у н к ц и и система функций пространства… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС — система попарно ортогональных элементов е 1, е 2, ..., е п, ... гильбертова пространства Xтакая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда наз. рядом Фурье элемента хпо системе {е i}. Обычно базис { е i} выбирается… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • ОРЛИЧА ПРОСТРАНСТВО — банахово пространство измеримых функций; введено В. Орличем [1]. Пусть М(и).и N(и) пара дополнительных N функций (см. Орлича класс).и G ограниченное замкнутое множество в . Пространством Орлича наз. множество измеримых относительно меры Лебега… …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ — интегральное уравнение вида Ф. у. 1 го род а, или вида Ф. у. 2 го рода, если интегральный оператор является вполне непрерывным в нек ром функциональном пространстве Е. Предполагается, что свободный член f и искомая функция принадлежат… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — функции f(х)по ортонормированной на промежутке ( а, b )системе функций ряд коэффициенты к рого определяются по формулам и наз. коэффициентами Фурье функции f. О функции f в общем случае предполагается, что она интегрируема с квадратом на ( а, b) …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»