ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС

- система попарно ортогональных элементов е ₁, е ₂, ..., е _п, ... гильбертова пространства Xтакая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

наз. рядом Фурье элемента хпо системе {е _i}. Обычно базис { е _i} выбирается так, что || е _i||=1, и тогда он наз. ортонормированным базисом. В этом случае числа С _i, наз. коэффициентами Фурье элемента хпо ортонормированному базису { е _i}, имеют вид с _i=( х, е _i). Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система { е _i} была базисом, является равенство Парсеваля-Стеклова

для любого . Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированныи базис. Если задана произвольная система чисел {с _i} такая, что , то в случае гильбертова пространства с базисом { е _i} ряд сходится по норме к нек-рому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l₂ (теорема Рисса - Фишера).

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов н гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966. В. И. Соболев.