- РИССА ПРОСТРАНСТВО
, в е к т о р н а я решетка,- вещественное частично упорядоченное векторное пространство X, в к-ром
1) структуры векторного пространства и упорядоченного множества согласованы, т. е. из х, у,
и х< уследует x+z< у + z и из 
, х >0,
,l> 0 следует lх> 0;
2) для любых двух элементов х, у существует sup ( х, у)
. В частности, существуют sup и inf любого конечного множества.
В отечественной литературе Р. п. обычно наз. K- линеалами. Впервые такие пространства были введены Ф. Риссом (F. Riesz, 1928).
Примером Р. п. может служить пространство С[ а, b]действительных непрерывных на С[ а, b] функций с поточечным упорядочением. Для любого элемента x. Р..п. определяются
и
. При этом оказывается, что 
. В Р. п. вводятся два вида сходимости последовательности { х n}. П о р я д к о в а я с х о д и м о с т ь, о-с х о д и м о с т ь: 
. если существует монотонно возрастающая последовательность {(yn} и монотонно убывающая последовательность {zn} такие, что 
и 
. Относительно р а в н о м е р н а я с х о д и м о с т ь, r-с х о д и м о с т ь: 
, если существует элемент и> 0 такой, что для любого e > 0 существует n0 такое, что 
при 
(r-сходимость наз. также с х о д и м о с т ь ю с р е г у л я т о р о м). Понятия о- и r-сходимости обладают многими обычными свойствами сходимости числовых последовательностей и естественным образом распространяются на направления 
.
Р п наз. а р х и м е д о в ы м, если из
и 
для n=1,2,. . . следует 
. В архимедовом P. п. из 
и 
следует 
и из r-сходимости следует о-сходимость.
Лит.: [1] R i е s zF, в кн.: Atti del Congr. Int. dei Math., v. 3 Bologna, 1930, p. 143-48, [2] L u x е m b u r g W., Z a a n e n A., Rieszspaces, v. 1, Amst.-L., 1971. [3] В у л и х Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961. В. И. Соболев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
