РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ

раздел римановой геометрии, изучающий связи между локальными и глобальными характеристиками римановых многообразий (р. м.). Термин Р. г. в ц. обычно относят к определенному кругу проблем и методов, характерных для геометрии в целом. Основное место в Р. г. в ц. занимает изучение связи между кривизной и топологией р. м. При этом исследуются вопрос о топологическом и метрич. строении р. м. с данными условиями на кривизну и вопрос о существовании на заданном гладком многообразии римановой метрики с предписанными свойствами кривизны ( секционной кривизны Ks , Риччи кривизныRic, скалярной кривизны K _ск). Большая часть полученных результатов относится к пространствам с кривизнами постоянного знака. Р. г. в ц. тесно соприкасается с теорией однородных пространств и вариационной теорией геодезических линий. О подмногообразиях Р. м. см. в статьях Изометрическое погружение и Погруженных многообразий геометрия.

Методы Р. г. в ц. носят синтетич. характер. Наряду с локальной дифференциальной геометрией широко используются теория дифференциальных уравнений и Морса теория. Но основные достижения связаны с нахождением удачных конструкций, напр. построением замкнутых геодезических, минимальных пленок или пленок из геодезических, орисфер, выпуклых множеств. Исследованию топологии р. м. обычно предшествует изучение их метрич. свойств. Последнее часто осуществляется путем сравнения р. м. с подходящим эталонным пространством (см. ниже теоремы сравнения).

Т о п о л о г и ч е с к о е с т р о е н и е. Для замкнутых поверхностей связь между кривизной и топологией по существу исчерпывается формулой Гаусса - Бонне. Среди замкнутых поверхностей метрику положительной кривизны могут нести только сфера S² и проективная плоскость Р ², а нулевой кривизны - тор и бутылка Клейна. Строение р. м. размерности n>2 известно хуже (1983). Вот примеры известных теорем.

Полное односвязное р. м. М ⁿ с диффеоморфно (т е о р е м а А д а м а р а - К а р т а н а), причем для любой точки экспоненциальное отображение exp_x есть диффеоморфизм касательного пространства Т _x М ⁿ на М ^п.

Для замкнутых р. м. с Ks.>0.имеет место следующая т е о р е м а о с ф е р е: полное р. м. М ⁿ с наз. б-з а щ е м л е н н ы м; если оно одно-связно и d>¹/₄, то М ^п гомеоморфно Sⁿ. Для четных пграница здесь точная: при d=¹/₄ существуют М ^п, негомеоморфные Sⁿ, это - симметрические пространства ранга 1 и только они. Для нечетных n теорема о гомеоморфности М ⁿ и Sⁿ верна и при d=¹/₄. При , гомеоморфность сфере Sⁿ влечет диффеоморфность. При диффеоморфность сфере установлена при более жестком, чем в теореме о сфере, защемлении (достаточно взять d>0,87, а при взять d>0,66). Известно также, что при еще более жестком защемлении (достаточно d>0,98 и d>0,66 при ) неодносвязное М ^п диффеоморфно пространству постоянной кривизны (факторпространству Sⁿ по дискретной подгруппе изометрий). Есть ряд результатов об условиях на К _s, обеспечивающих гомеоморфизм симметрия, пространству ранга 1 (см. [14], [15]).

Открытое, т. е. полное некомпактное, р. м. с К _s>0 всегда диффеоморфно . Множество наз. абсолютно выпуклым, если каждая геодезическая с концами в Xвся лежит в X. Пусть М ⁿ - открытое р. м. с , тогда в М ^п существует вполне геодезическое абсолютно выпуклое замкнутое подмногообразие Nтакое, что М ⁿ диффеоморфно пространству нормального расслоения N в М ^п (если К _s>0, то dim 7V=0). В случаях dim N=i или n-1, а для однородных пространств - всегда, М ^п даже изометрично со стандартной метрикой нормального расслоения. При это дает полную классификацию открытых р. м. с .

Прямой наз. полная геодезическая, кратчайшая на любом своем участке. Теорема о цилиндре: открытое М ⁿ с изометрично прямому метрич. произведению , где не содержит прямых. Условие здесь можно заменить на

.

Фундаментальная группа. При K_s>0 и четном пзамкнутое М ⁿ либо ориентируемо п односвяз-но, либо неориентируемо и фундаментальная группа ; при нечетном n оно всегда ориентируемо, но о p₁(Mⁿ) за пределами теоремы о сфере мало что известно. Даже для М ^п постоянной кривизны К _s=1 полное описание возможных строений p₁(Mⁿ) для нечетных показалось трудной задачей (см. [9]).

Если K_s=0, то универсальное накрывающее пространства М ^п изометрично и фундаментальная группа p₁(Mⁿ) изоморфна дискретной группе изометрий без неподвижных точек; она содержит подгруппу сдвигов конечного индекса. (Тем самым Mⁿ допускает конечное изометрич. накрытие плоским тором.)

Если в все , то диффеоморфно . Поэтому все гомотопич. группы p_i( М ^п).для i>1 тривиальны, и гомотопич. тин определяется п _г( М ^п). Если К _s<0, то p₁(Mⁿ) полностью некоммутативна в том смысле, что любая абелева (и даже любая разрешимая) ее подгруппа является бесконечной циклической. В случае известно следующее. Пусть Г - разрешимая подгруппа p₁ (М ⁿ). Тогда Г изоморфна дискретной группе изометрий (без неподвижных точек) и М ⁿ содержит компактное вполне геодезич. подмногообразие, изометричное . Вместо достаточно при этом потребовать отсутствия на геодезических сопряженных точек.

Для двух многообразий одинаковой постоянной отрицательной кривизны и одинаковой размерности изоморфизм p₁ влечет изометрию (теорема Мостов а).

Римановы многообразия, для к-рых max, наз. e-п л о с к и м и. Такие многообразия могут при произвольном e>0 топологически отличаться от локально плоских. Для них при любом существует такое e_n, что для e_n -плоского М ^п в p₁ (Mⁿ) есть нильпотентная подгруппа конечного индекса. При этом М ⁿ допускает конечное (с кратностью, зависящей лишь от п).накрытие, диффеоморфное факторпространству нильпотентной группы Ли по ее дискретной подгруппе (см. [8]).

Полное р. м. с кривизной имеет конечный diam и потому конечную группу p₁(Mⁿ). Если для замкнутого , то существует такая конечная нормальная подгруппа ГМp₁(Mⁿ), что p₁/Г - дискретная группа изометрий , причем разлагается в прямое метрич. произведение , где М* замкнуто, разложение инвариантно относительно p₁(Mⁿ), а Г - тривиальна на

Наряду с изучением p₁(Mⁿ) получены с помощью теории гармонических дифференциальных форм нек-рые оценки для чисел Бетти для d-защемленных М ⁿ. Так, b₂=0 при d>(n-3) (4n-9)^-1 и нечетном

Т е о р е м ы с р а в н е н и я. Многие глобальные свойства р. м. доказываются путем сравнения конструкций в изучаемом р. м. с аналогичными конструкциями в эталонном пространстве. В качестве последнего берут многообразие постоянной кривизны, реже - другое симметрич. пространство. Ниже с - плоскостью называем при с=0, сферу радиуса при с>0, плоскость Лобачевского кривизны с при с<0.

Многочисленные применения имеет следующая т е ор е м а Т о п о н о г о в а с р а в н е н и я у г л о в. Пусть в р. <м. М ^п все и a₁, a₂, a₃ - углы треугольника из кратчайших, а a'₁, a'₂, a'₃ - соответствующие углы треугольника с теми же длинами сторон на с-плоскости; тогда . Если и любые две точки сторон рассматриваемого в М ⁿ треугольника соединимы единственной кратчайшей, то . Эта теорема эквивалентна следующему у с л о в и ю в ы п у к л ос т и: если в М ^п кратчайшие ab, ас образуют тот же угол, что кратчайшие а'b', а'с' тех же длин на с-плоскости, то . Здесь по существу сравнивается быстрота расходимости кратчайших.

В т е о р е м е с р а в н е н и я Р а у х а сравниваются скорости движения концов bи b' кратчайших ab, а'b' в двух р. м. М ⁿ и М' ^п при условии, что аb и а'b' поворачиваются вокруг своих начал а, а' с одинаковой скоростью в условиях, когда (при нек-ром естественном сопоставлении) секционные кривизны в М ^п не меньше, чем в М' ^п. Тогда скорость движения bне больше, чем скорость b'. В основном случае (при сравнении с с-плоскостью) теорема Рауха равносильна инфинитезимальному варианту теоремы сравнения углов.

Имеются аналоги теоремы Рауха, в к-рых точки а, а' смещаются по гиперповерхностям, к к-рым ab, a'b' остаются ортогональными. Есть также теоремы сравнения для объемов трубчатых окрестностей подмногообразий (см. [13], [16]).

Э к с т р е м а л ь н ы е т е о р е м ы. Теоремы сравнения приводят к оценкам таких характеристик М ⁿ, как диаметр, радиус инъективности, длина замкнутой геодезической, объем шара данного радиуса и т. п. Ответы на вопросы о случаях достижения равенства в таких оценках дают экстремальные теоремы.

Для М ^п с всегда diam . Равенство достигается только для единичной сферы. Если М ^п замкнуто и при четном пили при нечетном n, то радиус инъективности и длина замкнутой геодезической . Если при этом в М ^п есть замкнутая геодезическая g длины 2p, то при четном пв М ^п существует вполне геодезич. поверхность, содержащая g и изометричная , а при , независимо от четности п, М ⁿ изометрично (см. [6]). Объем шара Dрадиуса r<r_in(Mⁿ )в М ⁿ с не меньше (не больше), чем объем шара D_c того же радиуса в пространстве постоянной кривизны с, с равенством, лишь если Dизометрично D_c .

Экстремальные теоремы не всегда связаны с оценками кривизны. Пусть, напр., на замкнутой поверхности Fдля любой точки множество точек, ей сопряженных, состоит из единственной точки. Тогда Fизометрично сфере.

К о н е ч н о с т ь т о п о л о г и ч е с к и х т и п о в. Среди замкнутых р. м. с равномерно ограниченными кривизнами и ограниченными снизу радиусами инъективности , есть лишь конечное число попарно гомотопически неэквивалентных, а при замене Ks <С₃ на - лишь конечное число попарно негомеоморфных. В этом утверждении условие r_in>С ₂>0 можно заменить обеспечивающими его, но легче проверяемыми условиями ,diam Mⁿ<C₅ (см. [14]).

Для р. м. со знакопостоянными K_s условия, обеспечивающие конечность их топология, типов, упрощаются. Напр., для четных пи K_s >0 достаточно условия max K_s <Сmin K_s.

При n>3 для М ^п с справедлива оценка Vol Mⁿ>C(l+diam М ⁿ). Поэтому при n№3 конечно число топологич. типов замкнутых р. м., удовлетворяющих условиям . Но при n=3 существует бесконечная серия попарно негомеоморфных М ³,удовлетворяющих условиям (см. [12]).

М е т р и к и с з а д а н н о й к р и в и з н о й. Пусть c - эйлерова характеристика замкнутой поверхности M². Чтобы гладкая функция f на М ⁿ была кривизной нек-рой римановой метрики на М ²,необходимо: max f>0 при c>0, min f<0 при c<0 и fменяет знак или при c=0. Эти условия и достаточны. Условие необходимо и достаточно, чтобы 2- форма w была формой кривизны римановой метрики на M². Если М ² - открытое подмногообразие замкнутого многообразия N², то любая гладкая f на М ² есть кривизна нек-рой (быть может, неполной) римановой метрики на M². Необходимые и достаточные условия, при к-рых f есть кривизна полной римановой метрики на некомпактной поверхности, выяснены (1983) лишь для конечносвязных поверхностей.

С ростом размерности число независимых компонент тензора кривизны растет быстрее числа компонент метрич. тензора. Условия, при к-рых данное поле тензора служит, хотя бы локально, полем тензора кривизны нек-рой метрики, неизвестны (1983). Но для скалярной кривизны при n>2 каждая гладкая функция f на замкнутом М ⁿ, для к-рой min f<0, является скалярной кривизной нек-рой римановой метрики на М ^п (см. [4]). Существуют многообразия, не допускающие метрики с положительной скалярной кривизной, напр. трехмерный тор (см. [5]).

В ы п у к л ы е ф у н к ц и и. Существование на р. м. М ^п скалярной функции f, выпуклой вдоль любой геодезической, налагает жесткие ограничения на строение такого М ^п. Напр., если на М ⁿ есть выпуклая функция f, то . Если f строго выпукла и при любом скомпактны множества f^-1 (с), то М ^п диффеоморфно

В ряде случаев выпуклые функции удается построить. Напр., при выпуклы функции f,(х) = r(x, р), f₂(x) =r(x, р)², . Если - изометрия, то выпукла функция d_g (х)=r(x, gx). При существуют выпуклые f с компактными f^-1 (с); это связано с абсолютной выпуклостью (при ) дополнений к оришарам и с тем обстоятельством, что при выпуклость множества UМ Mⁿ влечет выпуклость множества

Изучались и проблемы Р. г. в ц. для р. м. с дополнительными структурами, напр. для кэлеровых многообразий (см. [10]).

Лит.:[1] Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Б у р а г о Ю. Д., 3 а л г а л л е р В. А., "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 3, о. 3-55; [3] C h e e g e r J., E b i n D., Comparison theorems in riemannian geometry, Amst.- Oxf.-N. Y., 1975; [4] Исследования по метрической теории поверхностей, пер. с англ. и франц., М., 1980; [5] S c h o e n R., Y a u S., "Ann. Math.", 1979, v. 110, p. 127-42; [6] Т о п о н о г о в В. А., "Сиб. матем. ж.", 1974, т. 15, № 6, с. 1348-71; [7] G г о m о v M., L a w s o n В., "Ann. Math.", 1980, v. 111, №2, p. 209-30; [8] B u s e r P., K a r c h e r H., Gromov's almost flat manifolds, "Asterisque", 1981, v. 81; [9] В о л ь ф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ., М., 1982; [10] G o l d b e r g S., Curvature and homology, N. Y., 1963; [11] Б е с с е А., Многообразия с замкнутыми геодезическими, пер. с англ., М., 1981; [12] T h u r s t o n W., The geometry and topology of 3 manifolds, Preprint, Princeton, 1978; [13] H e i n t z e E., К a r e h е r Н., "Ann. scient. Ecole norm, super."., 1978, v. 11, № 4, p. 451-70; [14] С h e e g е r J., "Amer. J. Math.", 1969, v. 91, № 3, p. 807 - 34; [15] M i n-O o, R u h E., "Ann. scient. Ecole, norm. super.", 1979, v. 12, p. 335-53; [16] G r a y A., "Topology", 1982, v. 21, № 2, p. 201-28.

Ю. Д. Бураго, В. А. Топоногов.