ПОЛУГРУППА ОПЕРАТОРОВ

семейство операторов {Т} вбанаховом или топологическом векторном пространстве, обладающее тем свойством, что композиция любых двух операторов семейства снова принадлежит семейству. Если операторы Т"занумерованы" элементами нек-рой абстрактной полугруппы и бинарной операции полугруппы отвечает композиция операторов, то полугруппа {Т} наз. представлением полугруппы . Наиболее подробно изучены однопараметрические полугруппы линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве X, дающие представление аддитивной полугруппы всех положительных чисел, т. е. семейства Т(t).со свойством

Из сильной измеримости T(t), t>0, следует, что Т(t) - сильно непрерывная полугруппа, поэтому в дальнейшем только такие и рассматриваются.

Существует число

- тип полугруппы. Все функции Т(t)x растут не быстрее экспоненты.

Важной характеристикой является инфинитезимальный оператор полугруппы

определенный на линейном множестве D(А ₀) тех элементов х, на к-рых предел существует, и его замыкание А(если оно существует) - производящий оператор полугруппы. Множество D( А ₀).плотно на подпространстве Х ₀, являющемся замыканием объединения всех значений Т(t)x. Если в Х ₀ нет ненулевых элементов, на к-рых , то существует производящий оператор А. В дальнейшем всегда предполагается, что Х ₀=Х и что из следует х=0.

Наиболее простой класс полугрупп - класс С ₀ - выделяется условием: при и любом Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы функция ||T(t)|| была ограниченной на каком-нибудь промежутке (0, а]. В этом случае Т(t).имеет производящий оператор А=А ₀, для резольвенты R(l, А)=(A-lI)^-1 к-рого выполнено

(1)

где w - тип полугруппы. Обратно, если А - замкнутый оператор с плотной в X областью определения, для резольвенты к-рого выполнено (1), то он является производящим оператором нек-рой полугруппы Т(t).класса С ₀, причем . Условия (1) выполняются, если (условие Хилле - Иосиды). Если при этом w=0, то Т(t) - сжатий полугруппа:.

Суммируемая полугруппа - та, для к-рой функции ||T(t).|| суммируемы на любом конечном отрезке при всех . Суммируемая полугруппа имеет производящий оператор . Оператор A₀ замкнут тогда и только тогда, когда при любом

Для суммируемой полугруппы при Rel>w определено преобразование Лапласа

(2)

дающее линейный ограниченный оператор R(l), обладающий многими свойствами резольвенты.

Для того чтобы замкнутый оператор Ас плотной в Xобластью определения был производящим оператором суммируемой полугруппы T(t), необходимо и достаточно, чтобы для нек-рого w существовала резольвента R(l, А).при Re l>w и выполнялись условия: а) ||R(l, А)|| М,Re l>w; б) существуют такие неотрицательная и непрерывная по совокупности переменных функция , и неотрицательная функция j(t), ограниченная на любом промежутке , что

при w₁>w

При этом

Если, дополнительно потребовать, чтобы функция ||T(t)|| была суммируемой на конечных промежутках, то необходимо и достаточно существование такой непрерывной функции j(t) что при w₁>w

(3)

(4)

При этом . Выбирая различные функции, удовлетворяющие (3), можно выделять различные подклассы суммируемых полугрупп. Если , то получается класс С ₀ и из (4) вытекает (1). Если j(t) , , то из (4) получается условие

Полугруппа со степенными особенностями. Если в предыдущем примере , то в (4) интегралы при n расходятся. В соответствии с этим производящий оператор соответствующих полугрупп может не иметь резольвенты ни при каких l, т. е. иметь спектр, совпадающий со всей комплексной плоскостью. Однако для таких операторов, начиная с нек-рого п, существуют функции S_n(l, А), совпадающие в предыдущих случаях с Rⁿ⁺¹(l, А). Оператор-функция S_n(l, А).наз. резольвентой порядка п, если она аналитична в нек-рой области и при

и из того, что S_n(l, A)x=0 при всех , следует, что x=0. Если , то оператор может иметь единственную резольвенту порядка n, для к-рой имеется максимальная область аналитичности, наз. резольвентным множеством порядка п. Пусть для сильно непрерывной полугруппы Т(t).выполняется неравенство

при . Тогда ее производящий оператор Вимеет резольвенту порядка ппри n>a-1, причем

(5)

Обратно, пусть оператор Вимеет при Re l>0 резольвенту S_n(l, В).порядка n, для к-рой выполнено (5) при n>a-1. Тогда существует единственная полугруппа T(t).с оценкой для производящего оператора Ак-рой S_n(l, A)=S_n(l, В).

Гладкая полугруппа. Если , то функция T(t)xнепрерывно дифференцируема и

Существуют полугруппы класса С ₀, для к-рых при функции Т(t)xнедифференцируемы при всех t. Однако для важных классов полугрупп наблюдается явление повышения их гладкости с увеличением t. Если Т(t)x, t>t₀, дифференцируемы при любом , то из полугруппового свойства следует, что Т(t)xдважды дифференцируема при t>2t₀, трижды - при t>3t₀ и т. <д. Поэтому если Т(t)xдифференцируемы при любых t>0 и , то Т(t)xбесконечно дифференцируемы.

Для того чтобы для полугруппы класса С ₀ при нек-ром функции Т(t)xбыли дифференцируемы при всех и t>t₀, необходимо и достаточно существование таких чисел a, b, с>0, что резольвента R(l, А).определена в области

и в этой области

Для того чтобы Т(t)xбыли бесконечно дифференцируемыми при всех и t>0, необходимо и достаточно, чтобы для каждого b>0 нашлись такие a_b, c_b, что резольвента R(l, а).определена при

и

Достаточные условия: если при нек-ром m>w

то Т(t)хдифференцируемы при t >t₀ и , если t₀=0, то Т(t)xбесконечно дифференцируемы при всех t>0 и

Иногда о гладкости полугруппы можно судить по ее поведению в нуле; напр., если для каждого с>0 существует такое d _с, что при 0<t<d_c

то Т(t)xбесконечно дифференцируемы при всех t>0,

Имеются условия гладкости суммируемых полугрупп и полугрупп степенного роста. Если полугруппа степенного роста a бесконечно дифференцируема при t>0, то функция

часто также имеет степенной рост:

Между числами a и b в общем случае нет жесткой связи, и число b может служить для более детальной классификации бесконечно дифференцируемых полугрупп степенного роста.

Аналитическая полугруппа. Важный класс полугруппы, связанный с уравнениями с частями производными параболич. типа, состоит из полугрупп T(t), допускающих аналитич. родолжение в нек-рый сектор комплексной плоскости, содержащий положительную полуось. Для того чтобы полугруппа класса С ₀ обладала этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы в нек-рой правой полуплоскости Re l>w для резольвенты выполнялось неравенство

Также необходимо и достаточно, чтобы полугруппа была сильно дифференцируемой и чтобы для ее производной имелась оценка

Наконец, из неравенства

также следует аналитичность Т(t).

Если полугруппа Т(t).допускает аналитич. родолжение Т(z) в сектор и имеет степенной рост в нуле, , то резольвента S_n(l, A).порядка n>a-1 ее производящего оператора Адопускает аналитич. родолжение в сектор и в любом секторе , допускает оценку

Обратно, пусть резольвента оператора Вопределена в секторе и справедливо неравенство

Тогда существует аналитическая в секторе полугруппа Т(z).роста а, для производящего оператора Ак-рой

Полугруппа-распределение. В соответствии с общей концепцией теории распределений ( обобщенных функций).можно отказаться от того, чтобы оператор-функция Т(t).была определена при каждом t>0, а потребовать лишь вычислимость интегралов для всех j из пространства D() всех финитных бесконечно дифференцируемых функций. Тогда возникает определение: полугруппой-распределением в банаховом пространстве Xназ. линейное непрорывное отображение Т(j). пространства D(R) в пространство L(X).всех линейных ограниченных операторов в X, обладающее свойствами: а) T(j)=0, если ; б) для j, y из пространства D⁺(R), состоящего из всех функций из D(R). с носителями в , , где свертка

(полугрупповое свойство); в) если T(j)x=0 для всех , то x=0; г) линейная оболочка объединения всех значений , плотна в X; д) для любого существует такая непрерывная на функция и(t).созначениями в X, что и(0)=у и для всех

Инфинитезимальный оператор А ₀ полугруппы-распределения определяется так: если существует дельта-последовательность такая, что и при , то и у=А ₀ х. Инфинитезимальный оператор допускает замыкание , к-рое наз. производящим оператором полугруппы-распределения. Множество плотно в X и содержит Т(j)Xпри любой .

Замкнутый линейный оператор Ас плотной в X областью определения является производящим оператором полугруппы-распределения тогда и только тогда, когда найдутся числа и натуральное m такие, что при существует резольвента R(l, А).и выполнено неравенство

(6)

Если А - замкнутый линейный оператор в X, то множество можно превратить в пространство Фреше , введя в нем систему норм

Сужение оператора Ана оставляет инвариантным. Если А- производящий оператор полугруппы-распределения, то - производящий оператор полугруппы класса С ₀ (непрерывный при ).в пространстве . Обратно, если плотно в X, оператор Аимеет непустое резольвентное множество и является производящим оператором полугруппы класса

C₀ в , то А - производящий оператор полугруппы-распределения в X.

Полугруппа-распределение имеет экспоненциальный порядок роста не выше , если при нек-ром w>0 отображение непрерывно в топологии, индуцированной на D ⁺ пространством S() быстро убывающих функций. Для того чтобы замкнутый линейный оператор был производящим оператором такой полугруппы-распределения, необходимо и достаточно, чтобы он имел резольвенту R(l, А), для к-рой выполнено (6).в области

где a, b>0. В частности, если q=1, то полугруппа наз. экспоненциальной и неравенство (6).выполняется в нек-рой полуплоскости. Имеется характеристика полугрупп указанных типов в терминах свойств оператора . Для полугруппы-распределений изучены вопросы гладкости и аналитичности.

Полугруппа операторов в (отделимом) локально выпуклом пространстве X. Определение сильно непрерывной полугруппы непрерывных в Xоператоров Т(t).остается таким же, как и в банаховом пространстве. Аналогично класс С ₀ выделяется свойством при и любом . Полугруппа наз. локально эквинепрерывной (принадлежит классу lС ₀), если семейство операторов Т(t).равностепенно непрерывно, когда tпробегает любой конечный промежуток из . В бочечном пространстве полугруппа класса C₀ всегда локально эквинепрерывна.

Полугруппа наз. эквинепрерывной (принадлежит классу uС ₀), если семейство , равностепенно непрерывно.

Инфинитезимальнын и производящий операторы полугруппы определяются так же, как и в банаховом случае.

В дальнейшем предполагается, что пространство Xсеквенциально полно. Для полугрупп класса lС ₀ производящий оператор Асовпадает с инфинитезимальным, его область определения D(А) плотна в Xи, более того, плотно в Xмножество . Полугруппа Т(t).оставляет D(А).инвариантной и

Если А - производящий оператор полугруппы класса иС ₀, то при Re l>0 определена резольвента R(l, А).и она является преобразованием Лапласа от полугруппы.

Линейный оператор Аявляется производящим оператором полугруппы класса иС ₀ тогда и только тогда, когда он замкнут, имеет плотную в Xобласть определения и существует такая последовательность положительных чисел , что для любого l_k, определена резольвента и семейство операторов

равностепенно непрерывно. При этом полугруппа может быть построена по формуле

В ненор. <мируемом локально выпуклом пространстве производящий оператор полугруппы класса lС ₀ может не иметь резольвенты ни в одной точке. Пример: в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от sна . В качестве оператора, заменяющего резольвенту, может быть взят непрерывный оператор, умножение к-рого на оператор А-lI справа и слева "мало" отличается от единичного оператора.

Непрерывный оператор R(l), определенный для l из множества , наз. асимптотической резольвентой линейного оператора А, если оператор AR(l) непрерывен в X, оператор R(l) А допускает расширение с D(А).до непрерывного оператора В(l). в Xи существует такая предельная точка l₀ множества L, что при для любого хиз X, где

Асимптотич. резольвента обладает рядом свойств, близких к свойствам обычной резольвенты.

Для того чтобы замкнутый линейный оператор Ас плотной в Xобластью определения был производящим оператором полугруппы класса lС ₀, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа w и a>0, что при l>w определена асимптотич. резольвента R(l).оператора А, обладающая свойствами: функции R(l), H⁺(l), H^-(l) сильно бесконечно дифференцируемы при l>w, семейства операторов

равностепенно непрерывны.

Теоремы порождения получены и для других классов П. о. в локально выпуклом пространстве.

Сопряженная полугруппа. Если Т(t) - полугруппа класса С ₀ в банаховом пространстве X, то сопряженные операторы образуют полугруппы ограниченных операторов в сопряженном пространстве X'. Однако соотношение при и любом выполняется лишь в смысле слабой топологии s(X', X). Если А - производящий оператор, то сопряженный оператор А' будет слабым производящим оператором T'(t).в том смысле, что D(А') состоит из всех тех f, для к-рых существует в смысле слабой сходимости предел t^-1[T'(t)-I]fпри , равный А'f Область определения D( А').плотна в X' в смысле слабой топологии, и оператор А' замкнут в этой топологии.

Пусть Х ⁺- совокупность тех элементов из X', для к-рых при в сильном смысле, тогда Х ⁺ - замкнутое подпространство X', инвариантное относительно всех T'(t). В Х ⁺ операторы Т(t).образуют полугруппы класса С ₀. Пространство Х ⁺ может быть получено как сильное замыкание в X' множества D(A'). Если исходное пространство рефлексивно, то Х ⁺=Х'. Для полугрупп класса С ₀ в локально выпуклых пространствах справедливы аналогичные факты. Полугруппы классов lС ₀ и иС ₀ порождают полугруппы таких же классов в пространстве X ⁺.

Полугруппа-распределение в (отделимом) локально выпуклом пространстве. Полугруппа-распределение T(j) в секвенциально полном локально выпуклом пространстве определяется так же, как и в банаховом пространстве. Полугруппа Т(j) наз. локально эквинепрерывной (класса lD'), если для любого компакта семейство операторов , равностепенно непрерывно. В бочечном пространстве Xвсякая полугруппа-распределение принадлежит классу lD'. Аналогично случаю банахова пространства определяется инфинитезимальный оператор A₀ полугруппы-распределения. Для полугрупп класса lD' он замкнут плотно в X, при любых и выполнено

(7)

Обобщенную функцию Тс носителем на , обладающую свойствами (7), естественно назнать фундаментальной функцией оператора . Таким образом, если А- производящий оператор полугруппы Ткласса lD', то Тявляется фундаментальной функцией оператора . Обратное утверждение верно при дополнительных предположениях относительно порядка сингулярности фундаментальной функции Т(точнее, функций f(T(j)x), где ).

Для характеризации полугруппы в локально выпуклом пространстве полезным является понятие обобщенной резольвенты. Через обозначается образ функции при преобразовании Лапласа, в пространстве всех образов вводится топология, индуцируемая преобразованием Лапласа из топологии D(). Преобразование Лапласа Х-значной обобщенной функции Fопределяется равенством . При этом является непрерывным отображением из в пространстве L(X).линейных непрерывных операторов на X. Пусть - пространство всех , полученных из Fс носителем на , с естественной топологией. Если А - линейный оператор в X, то его можно "поднять" до оператора в пространстве с помощью равенства

Таким образом, он определен на тех , для к-рых правая часть определена при любой и продолжает обобщенную функцию из . На определяется непрерывный оператор равенством

Если оператор имеет непрерывный обратный на , то наз. обобщенной резольвентой оператора А.

Оператор Аимеет обобщенную резольвенту тогда и только тогда, когда у оператора существует локально эквиненрерывная фундаментальная функция Т, к-рая строится по формуле:

где

При дополнительных условиях Тбудет полугруппой-распределением. В терминах обобщенной резольвенты получена также теорема порождения П. о. класса lС ₀.

См. также Полугруппа нелинейных операторов.

Лит.:[1] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., №'.,1962; [2] Вувуникян Ю. М., в кн.: Теория операторов в функциональных пространствах, Новосиб., 1977, с. 99-120; [3] Забрейко П. П., Зафиевский А. В., "Докл. АН СССР", 1969, т. 189, № 5, с. 934-37; [4] 3афиевский А. В., "Тр. Матем. ф-та Воронеж, ун-та", 1970, в. 1, с. 206-10; [5] И о с-и-яа К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 196,7.; (0) Крейн Е. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1967; [7] Сильченко Ю. Т., "Дифференц. уравнения", 1979, т. 15, Ni 2, с. 363-66; [8] Сhаzarain J. "J. Funct. Analys.", 1971, v. 7, № 3, p. 386-446; [9] Qioranescu J., "J. Math. Analys. and Appl.", 1971, v. 34, p. 34 - 41; [10] её же, "Rev. roum. math. pures>et appl.", 1977, v. 22, №8, p. 1053-68; [11] Кato T.,."Proc, Amer. Math. Soc.", 1970, v. 25, № 3, p. 495 - 98; [12] Lions J., "Portugal. Math.", 1960, v. 19, p. 141-64; [13] Pazy A., "J. Math. Mech.", 1968, v. 17, №12, p. 1131-41; [14] его же, i.proc. Amer. Math. Soc.", 1971, v. 30, № 1, p. 147-50; [15] Ushijima Т., "Sci. Papers College Gen. Edic. Univ. Tokyo", 1971, v. 21, p. 93-122; [16] его же, "J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 1A", 1972, v. 19, № 1, p. 65-127; [17] Wild C:, "C. r. Acad. sci.", 1977, t. A 285, p. 437-40.

Ю. М. Вувуникян, С. Г. Крейн.