- СИЛЬНО НЕПРЕРЫВНАЯ ПОЛУГРУППА
семейство линейных ограниченных операторов T(t), t>0, в банаховом пространстве X, обладающее свойствами:
1)
2) функции Т(t)xнепрерывны на
при любом
При выполнении 1) из измеримости всех функций
, и, в частности, из односторонней (справа или слева) слабой непрерывности следует сильная непрерывность T(t). Для С. н. п. конечное число
наз. т и п о м п о л у г р у п п ы. Таким образом, нормы всех функций Т(t)xрастут на
не быстрее экспоненты
. Классификация С. н. п. основана на их поведении при
. Если существует такой ограниченный оператор J, что
при
то J - проекционный оператор и
, где А - ограниченный линейный оператор, коммутирующий с J. В этом случае Т(t)непрерывна по норме операторов. Если J=J, то
,- равномерно непрерывная группа операторов.
Если
при каждом
, то J- также проекционный оператор, проектирующий Xна подпространство Х 0 - замыкание объединения всех значений
.
Для того чтобы J существовал и равнялся J, необходимо и достаточно, чтобы
была ограничена на (0,1) и чтобы Х 0=Х. В этом случае полугруппа T(t),доопределенная равенством T(0)=I, сильно непрерывна при
(удовлетворяет С 0 -у с л о в и ю). Для более широких классов полугрупп предельное соотношение
выполняется в обобщенном смысле:
(суммируемость по Чезаро, С 1 -у с л о в и е), или
(суммируемость по Абелю, А-условие). При этом предполагается, что функции
, интегрируемы на [0,1] (а значит, и на любом конечном отрезке).
Поведение С. н. п. при
может быть совсем нерегулярным. Напр., функции
могут иметь при t=0степенную особенность.
Для плотного в Х 0 множества элементов хфункции Т(t)xдифференцируемы на
. Важную роль играют С. н. п., для к-рых функции Т(t)xдифференцируемы при всех хдля t>0. В этом случае оператор Т'(t)ограничен при каждом tи его поведение при
дает новые возможности для классификации полугрупп. Выделены классы С. н. п., для к-рых Т(t)допускает голоморфное продолжение в сектор комплексной плоскости, содержащий полуось
.
См. Полугруппа операторов, Производящий оператор полугруппы.
Лит.:[1] X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962. С. Г. Крейн.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.