ПОЛУГРУПП МНОГООБРАЗИЕ

класс полугрупп, задаваемый системой тождеств (см. Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м. будет либо периодическим, т. е. состоит из периодич. полугрупп, либо надкоммутативным, т. <е. содержит многообразие всех коммутативных полугрупп. Для классификации ряда свойств П. м. выделяются нек-рые типы тождеств. Тождество u=v наз. нормальным (а также регулярным, однородным), если множества переменных, входящих в слова ии v, совпадают, и аномальным - в противном случае. Тождество и=v наз. уравновешенным, если каждая переменная в ии vвстречается одно и то же число раз. Частный случай уравновешенного тождества - перестановочное тождество - если и=х ₁...х _т и vполучено из иперестановкой переменных. П. м. надкоммутативно тогда и только тогда, когда все его тождества уравновешенные. Базис тождеств П. м. наз. неприводимым, если любое его собственное подмножество задает многообразие, отличное от . Всякое надкоммутативное П. м. имеет неприводимый базис тождеств. Существуют П. м., не имеющие неприводимый базис тождеств. Примеры конечно базируемых П. м.: любое многообразие коммутативных полугрупп, любое периодическое П. м. с перестановочным тождеством, любое П. м., заданное перестановочными тождествами. Любая полугруппа с числом элементов имеет конечный базис тождеств, но существует 6-элементная полугруппа, не имеющая конечного базиса тождеств.

Следующие условия для П. м. эквивалентны задано нормальными тождествами; все тождества нормальны; содержит двухэлементную полурешетку. П. м. имеет среди своих тождеств аномальное тогда и только тогда, когда периодическое и состоит из архимедовых полугрупп.

Минимальные П. м. исчерпываются многообразиями всех: 1) полурешеток, 2) полугрупп левых нулей, 3) полугрупп правых нулей (см. Идемпотентов полугруппа),4) полугрупп с нулевым умножением, 5) абелевых групп экспоненты рпри любом простом р. В решетке всех П. м. всякий неединичный элемент имеет покрывающий его элемент; единичный элемент не может быть равен объединению конечного числа неединичных элементов. Решетка всех П. м. не удовлетворяет никакому нетривиальному решеточному тождеству и имеет мощность континуум. Эту же мощность имеют подрешетка всех многообразий нильполугрупп с тождеством x²=0 и подрешетка всех надкоммутатив-ных многообразий. Для нек-рых П. м. получены явные описания решетки их подмногообразий ; описаны П. м. с нек-рыми ограничениями на решетку

П. м. наз. малым, если конечна. П. м. наз. многообразием конечного индекса, если ступени нильпотентности нилыпотентных полугрупп из ограничены в совокупности (это условие эквивалентно тому, что каждая нильполугруппа из нильпотентна, а также тому, что не содержит многообразия всех коммутативных нильполугрупп с тождеством х ²=0). Всякое малое Л. м. имеет конечный индекс.

Для периодического П. м. следующие условия эквивалентны [4]: состоит из связок архимедовых полугрупп; в любой полугруппе из каждый класс кручения есть подполугруппа; не содержит полугруппы Крандта В ₂ (см. Периодическая полугруппа). Этим условиям удовлетворяют П. м. с модулярной решеткой и П. м. конечного индекса (в частности, малые П. м.). Малое П. м. локально конечно (т. е. состоит из локально конечных полугрупп) тогда и только тогда, когда локально конечно многообразие всех групп из ; малое локально конечное многообразие групп - это в точности кроссово многообразие (см. Групп многообразие). О других локально конечных П. м. см. Локально конечная полугруппа. Описаны П. м., состоящие из финитно аппроксимируемых полугрупп [3].

Множество всех П. м. относительно мальцевского умножения образует частичный группоид G. Известны все идемпотенты в G, их в точности 9. Множество всех П. м., задаваемых системами тождеств вида w=0, образует максимальный группоид в G.

Изучаются также П. м. полугрупп с дополнительными сигнатурными операциями: многообразия моноидов (с сигнатурной единицей), многообразия полугрупп с сигнатурным нулем, многообразия инверсных полугрупп и др.

Лит.:[1] Evans Т., "Semigroup forum", 1971, v. 2, М 1, p. 1-43; [2] Айзенштат А. Я., Богута Б. К., в сб.: Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов, Л., 1979, с. 3-48; [3] Голубов Э. А., Сапир М. В., "Докл. АН СССР", 1979, т. 247, № 5, с. 1037-41; [4] Сапир М. В., Суханов Е. В., "Изв. вузов. Математика", 1981, № 4, с. 48-55. Л. Н. Шеврин.