ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

проективное n-пространство, в к-ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности действительного конуса 2-го порядка Q₀ индекса l₀ с( п-т ₀-1)-плоской вершиной Т ₀, ( п-т ₀-2)-действительного конуса Q₁ индекса l₁ с ( п-т ₁-1)-плоской вершиной Т ₁ в (n-m₀-1 )-плоскости Т ₀,( п-m₁-2)-действительного конуса Q₂ индекса l₂ с (n-m₂-1 )-плоской вершиной Т ₂ в ( п-m₁-1 )-плоскости Т ₁ и т. д. до (n-m_r_₂ -2 )-действительного конуса Q_r-1 индекса l_r-1 с (n-m_r_₁-1 )-плоской вершиной T_r-1 и невырожденной действительной ( п-m_r-1-2 )-квадрикой Q_r индекса l_r в плоскости T_r-1

Такое пространство наз. П. и. индексов l₀, l₁; . . ., 1_r и обозначается

В случае, когда конус Q₀ является парой слившихся плоскостей, совпадающих с плоскостью Т ₀ (при m₀=0), П. п. с несобственной плоскостью Т ₀ наз. полуевклидовым пространством:

Расстояние между точками Xи Yопределяется в зависимости от расположения прямой XY относительно плоскостей Т ₀, Т ₁, . .., Т _r-1. Если, в частности, прямая XY не пересекает плоскость Т ₀, то расстояние между точками Xи Yопределяется с помощью скалярного произведения аналогично соответствующему определению в квазигиперболическом пространстве. Если же прямая XY пересекает плоскость Т ₀, но не пересекает плоскость Т ₁ или пересекает плоскость T_a-1 но не пересекает плоскость Т _а, то расстояние между точками определяется с помощью, скалярного квадрата разности соответствующих векторов точек Xи Y.

В зависимости от расположения относительно плоскостей Т ₀, T₁, . . ., Т _а, . . . абсолюта различаются четыре типа прямых различных порядков: эллиптические, гиперболические, изотропные и параболические.

Углы между плоскостями в П. п. определяются по аналогии с определением углов между плоскостями в квазигиперболич. пространстве, т. е. с использованием расстояний в двойственном пространстве.

Проективная метрика П. п. является метрикой наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п., напр., является метрика квазигиперболич. пространства. В частности,2-плоскость совпадает с псевдоевклидовой ¹R₂, плоскость - с копсевдоевклидовой ; 3-пространства и совпадают с квазигиперболическим 3-пространством, 3-пространство - с копсевдоевклидовым и т. д.; 3-пространство двойственно псевдогалилееву пространству ¹ Г ₃, оно наз. копсевдогалилеевым пространством, его абсолют состоит из пары действительных плоскостей (конус Q₀).и точки T₁ на прямой Т ₀ пересечения этих плоскостей.

Движениями П. п. наз. его коллинеации, переводящие абсолют в себя. При m _а=п-m_r-а-1-1 и при l_a = l_r-a П. п. двойственно самому себе. В таком пространстве определяются кодвижения, определения к-рых аналогичны определению кодвижения в квазигиперболич. пространстве, двойственном самому себе. Движения, движения и кодвижения образуют группы, являющиеся группами Ли. Движения (как и кодвижения) П. п. описываются псевдоортогональными операторами индексов, определенных индексами пространства.

П. п. является полуримапивым пространством.

Лит.:[1] Sоmmerville D. M. Y., "Proc. Edinburgh Math. Soc.", 1910, v.28, p. 25-41; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.