АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ

алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида

где - к.-л. предикатный символ из или знак равенства, а - термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к, вациональными классами, иногда примитивными классами. Многообразие сигнатуры может быть определено также (теорема Биркгофа) как непустой класс -систем, замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и декартовых произведений.

Пересечение всех многообразий сигнатуры , содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс -систем, наз. эквациональным замыканием класса (или многообразием, порожденным классом > и обозначается . В частности, если класс состоит из одной -системы , то его эквацп-ональное замыкание обозначают . Если система конечна, то все конечно порожденные системы в многообразии также конечны [1], [2].

Пусть - нек-рый класс -систем, - класс подсистем систем из - класс гомоморфных образов систем из - класс изоморфных копий декартовых произведений систем пз . Для произвольного непустого класса -систем имеет место соотношение (см. [1], [2]):

Многообразие наз. тривиальным, если в каждой его системе истинно тождество . Всякое нетривиальное многообразие обладает свободными системами любого ранга ти (см. [1], [2]). Пусть - множество тождеств сигнатуры и - класс всех -систем, в к-рых истинны все тождества из . Если для многообразия сигнатуры выполняется равенство , то наз. базисом для . Многообразие наз. конечно базируемы м, если оно имеет конечный базис . Для любой системы базис многообразия наз. также базисом тождеств системы . Если - конечно базируемое многообразие алгебр конечной сигнатуры и все алгебры из имеют дистрибутивные решетки конгруэнции, то каждая конечная алгебра пз имеет конечный базис тождеств (см. [10]). В частности, любая конечная решетка обладает конечным базисом тождеств. Конечный базис тождеств имеет любая конечная группа [3]. Напротив, существует 6-элементная полугруппа [5] и 3-элементный группоид [6], у к-рых нет конечного базиса тождеств.

Многообразия -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном многообразии сигнатуры , составляют по включению полную решетку с нулем и единицей, к-рая наз. решеткой подмногообразий многообразия . Нулем этой решетки служит многообразие с базисом , а единицей - многообразие . Если многообразие нетривиально, то решетка антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции свободной в системы счетного ранга [1]. Решетка всех многообразий сигнатуры бесконечна, кроме случая, когда множество конечно и состоит лишь из предикатных символов. Известно точное значение мощности бесконечной решетки (см. [1]). Решетка всех многообразий решеток дистрибутивна и имеет мощность континуума [7], [8]. Решетка всех многообразий групп модулярна, но не дистрибутивна [3], [4]. Решетка многообразий коммутативных полугрупп не модулярна [9].

Атомы решетки всех многообразий сигнатуры наз. минимальными многообразиями сигнатуры . Каждое многообразие, обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное многообразие. Если -система конечна и конечного типа, то многообразие содержит лишь конечное число минимальных подмногообразий [1].

Пусть - подмногообразия фиксированного многообразия -систем. Мальцевским произведением наз. класс тех систем из , к-рые обладают такой конгруэнцией , что , а все смежные классы , являющиеся системами из , принадлежат . Если - многообразие всех групп, а - его подмногообразия, то произведение совпадает с произведением в смысле X. Нейман [3]. Произведение многообразий полугрупп может не быть многообразием. Многообразие -систем наз. поляризованным, если существует такой терм сигнатуры , что в каждой системе из истинны тождества Если - поляризованное многообразие алгебр и в каждой алгебре нз конгруэнции перестановочны, то мальцевское произведение любых подмногообразий есть многообразие. В частности, можно говорить о группоиде подмногообразий любого многообразия групп, колец и т. п. Если - многообразие всех групп или всех алгебр Ли над фиксированным полем Рхарактеристики нуль, то - свободная полугруппа [1].

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, дер. с англ., М., 1968; [3] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969; [4] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [5] Реrkins P., "J. of Algebra", 1969, v. 11, № 2, p. 298-314; [6] Мурский В. Л., "Докл. АН СССР", 1965, т. 163, X. 4, с. 815-18; [7] Jоnssоn В., "Math. Scand.", 1967, v. 21. № 1, p. 110-21; [8] Baker K. A., "Pacific J. of Math.", 1969, v. 28, № 1, p. 9-15; [9] Sсhwabauеr R., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1969, v. 20, № 2, p. 503-04; [10] Baker K. A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1974, v. 190, p. 125-50. Д. М. Смирнов.