АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство имеет типовым слоем аффинное пространство размерности . Структурой такого Ек каждой точке присоединяется экземпляр аффинного пространства , к-рый отождествляется с касательным центроаффинным пространством . А. с. предусматривает такое сопоставление каждой гладкой кривой с началом и каждой ее точке аффинного отображения , что удовлетворяется ниже сформулированное условие. Пусть Мпокрыто координатными областями, в каждой из к-рых фиксировано гладкое поле аффинного репера в , у к-рого начало совпадает с (т. е. фиксированы пгладких векторных полей, линейно независимых в каждой точке области). Требуется, чтобы при , когда перемещается по до , отображение стремилось к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего определялось относительно некоторого из реперов системой линейных дифференциальных форм

Итак, образом при репера в точке является система из точки в с радиус-вектором

и пвекторов где X - касательный вектор к Lв точке х ₀ , причем

Многообразие Мс заданной на ней А. с. наз. пространством аффинной связности. При преобразовании репера поля в произвольной точке согласно формулам т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства Рреперов в касательных пространствах с началами в точке , формы (1) заменяются следующими 1-формами на Р:

а 2-формы

преобразуются так:

где и составлены согласно (3) из форм (2). Уравнения (3) называются структурными уравнениями А. с. на М, где левые части - так наз.

кручения формы и кривизны формы - полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями :

Любые 1-формы заданные на Ри удовлетворяющие уравнениям (3) с левыми частями вида (4), определяют нек-рую А. с. на М. Отображение для кривой получается следующим ооразом: нужно выбрать нек-рое гладкое поле репера в координатной окрестности начала кривой L, п образ репера в точке определить как решение системы

при начальных условиях - уравнения кривой L. Кривая, описываемая в точкой с радиус-вектором относительно , наз. разверткой кривой L. Поле репера в координатной окрестности можно выбрать так, чтобы тогда На пересечении координатных окрестностей

и

Здесь и составляют, соответственно, кручения тензор и кривизны тензор А. с. на М. А. с. на Мможет быть задана системой функций на каждой координатной окрестности, преобразующейся на пересечении окрестностей по формуле (5) - так наз. объектом А. с. Отображение получается с помощью системы (5), в к-рую следует подставить

Если в нек-рой окрестности точки дано векторное поле , то при вектор отображается в вектор (где - решение системы (5)), дифференциал к-рого в при :

наз. ковариантным дифференциалом поля Xотносительно данной А. с. Здесь

образуют тензорное поле, наз. ковариантной производной поля Если дано второе векторное поле то определяется ковариантная производная поля X в направлении Y:

к-рая относительно произвольного поля репера может быть определена также формулой

А. с. на Мможет быть задана и как билинейный оператор , к-рый двум векторным полям ставит в соответствие третье и обладает свойствами:

где f - гладкая функция на М. Связь с вышеуказанными способами задания устанавливается формулой: где - поле репера; поля тензоров кручения и кривизны

определяются формулами

Векторное поле наз. параллельным вдоль кривой , если тождественно относительно , т. е. если вдоль

Параллельными векторными полями осуществляется параллельное перенесение векторов (и вообще тензоров) в А. с., представляющее собой линейное отображение касательных векторных пространств , определяемые отображением В этом смысле каждая А. с. порождает нек-рую линейную связность на М.

Кривая Lназ. геодезической линией в данной А. с., если ее развертка является прямой линией; другими словами, если в подходящей параметризации ее касательное векторное поле параллельно вдоль ее. Относительно локальной координатной системы геодезич. линии определяются системой

Через каждую точку в каждом направлении проходит одна геодезическая.

Существует взаимно однозначное соответствие между А. с. на Ми связностями в главных расслоенных пространствах свободных аффинных реперов в ими порождаемыми. Замкнутым кривым с началом и концом в хсоответствуют аффинные преобразования к-рые образуют неоднородную голономии группу данной А. с. Соответствующие линейные автоморфизмы образуют однородную группу голономии. Согласно теореме о голономии алгебры Ли этих групп определяются 2-формами кручения и кривизны Для последних имеют место тождества Бианки:

к-рые, в частности, для А. с. без кручения, когда сводятся к следующим:

Понятие А. с. возникло в 1917 в римановоп геометрии ( в виде Леви-Чивита связности);самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 в работах Г. Вейля [1] и Э. Картана [2].

Лит.:[1] Weyl H., Raum, Zeit, Materie, 5 Aufl.. В., 1923; [2] Сartan E., "Ann. sclent. Eсо1е norm, super.", 1923, т. 40, p. 325-412; 1924, t. 41, p. 1-25; 1925, t. 42, p. 17-88; [3] Кapтан Э., Пространства аффинной, проективной и конформной связности, пер. с франц., Казань, 1962; [4] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [5] Постников М. М., Вариационная теория геодези-чееких, М., 1965. Ю. Г. Лумисте.