- АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- раздел геометрии, изучающий дифференциально-геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства.
В эквиаффинной плоскости каждые два вектора
имеют инвариант
- площадь параллелограмма, построенного на векторах
С помощью этого понятия для кривой
, отличной от прямой, строится инвариантный параметр
наз. экв и аффинной дугой.
Дифференциальный инвариант
наз. экв и аффинной кривизной плоской кривой. Постоянство эквпаффинной кривизны характеризует кривые 2-го порядка. Натуральное уравнение
определяет кривую с точностью до эквиаффинного преобразования. Вектор
направлен по аффинной нормали к плоской кривой; аффинная нормаль в точке
касается геометрич. места середин хорд кривой, параллельных касательной в точке Ми совпадает с диаметром параболы, имеющей в точке Мсоприкосновение 3-го порядка с кривой.
При переходе к общей аффинной группе у кривой рассматривают два более сложных инварианта: аффинную дугу а и аффинную кривизну
. Они могут быть выражены через введенные выше инварианты
и
:
(в эквиаффинной геометрии сами величины
и
для краткости наз. аффинной дугой и аффинной кривизной). Подобным же образом строятся центроаффинная дуга, пентроаффинная кривизна, эквицентроаффинная дуга и эквицентроаффинная кривизна плоской кривой.
В эквиаффинном пространстве каждым трем векторам
может быть отнесен инвариант
- объем ориентированного параллелепипеда, определяемого этими векторами. Натуральный параметр (эквиаффинная дуга) кривой определяется формулой
Дифференциальные инварианты
где штрихи означают дифференцирование по натуральному параметру, наз. соответственно эквиаффинной кривизной и э к в и-аффинным кручением пространственной кривой. Изучение кривой сводится к выбору того или иного сожровождающего репера; особую роль играет репер, образвванный векторами
и определяемый дифференциальной окрестностью 4-го порядка рассматриваемой кривой. Разработана также центроаффинная теория пространственных кривых (см. [5]).
Для пвверхности
в эквиаффинном пространстве, отличной от развертывающейся поверхности, строится тензор
где
- символ ковариантной производной в связности с метрич. тензором
, задает направление аффинной нормали к поверхности. Аффинная нормаль проходит через центр соприкасающейся квадрики Ли. Деривационные уравнения
определяют внутреннюю связность 1-го рода
поверхности. Наряду с ней возникает внутренняя связность 2-го рода
, определяемая деривационными уравнениями
где v - ковариантный вектор, определяющий касательную плоскость к поверхности и подчиненный условию
нормировки
. Связности
и
являются сопряженными относительно тензора в смысле А. П. Нордена (см. [3]). Тензор
играющий также основную роль в проективной дифференциальной геометрии, позволяет построить симметрич. ковариантный тензор
Строятся также две основные формы поверхности: квадратичная форма
и кубическая форма Фубини- Пика
Эти формы связаны условием аполярности
Две такие формы, удовлетворяющие дополнительным дифференциальным условиям, определяют поверхность с точностью до эквиаффинных преобразований. Все эти положения обобщаются на многомерный случай.
В аффинном и эквиаффинном пространствах выделяется много специфич. классов поверхностей: аффинные сферы (у к-рых аффинные нормали образуют связку), аффинные поверхности вращения (аффинные нормали пересекают одну собственную или несобственную прямую), аффинные минимальные поверхности и др.
Помимо кривых и поверхностей, изучаются также иные геометрич. образы эквиаффинного пространства, напр, конгруэнции и комплексы прямых, векторные поля и др.
Наряду с эквиаффинной дифференциальной геометрией разрабатывается дифференциальная геометрия общей аффинной группы и других ее подгрупп как в трехмерном, так и в многомерном пространствах (центроаффин-ном, эквицентроаффинном, аффинно-симплектическом, биаффинном и т. д.).
Лит.:[1] Blaschke W., Affine Differentialgeometrie, В., 1923; [2] Salkowski E., Affine Differentialgeometrie. B.-Lpz., 1934; [3] Hорден А. П., Пространства аффинной связности, М.-Л., 1950; [4] Итоги науки. Геометрия. 1963, М., 1965, с. 3-64; [5] Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959.
А. П. Широков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.