ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО

- неравенство, связывающее аргумент, неизвестную функцию и ее производные, напр.,

где у(х)- неизвестная функция аргумента х. Основная проблема теории Д. н.- по заданному Д. н. и дополнительным (начальным или граничным) условиям описать совокупность всех его решений.

Большую группу составляют Д. н., получающиеся из дифференциальных уравнений хорошо изученных классов заменой знака равенства на знак неравенства, что равносильно добавлению к одной из частей уравнения заранее не уточняемой функции определенного знака. Представляет интерес сравнение решений таких Д. н. с решениями соответствующих дифференциальных уравнений. Так, для любого решения Д. н. (1) справедливы оценки [1]:

где

на любом интервале [ х 1, х 2] существования обоих решений. Это простое утверждение широко применяется для оценок решений дифференциальных уравнений (путем перехода к соответствующему Д. н. с легко указываемым частным решением), области продолжимости решений, разности между двумя решениями, для вывода условий единственности решения и т. д. Справедливо аналогичное утверждение [2] и для Д. н. (неравенство Чаплы г. <и н а)

Здесь оценки типа (2) для решений, удовлетворяющих при х=х 0 одинаковым начальным условиям, гарантируются лишь на интервале, определяемом коэффициентами a1, ... , а т :напр., для Д. н. y"+y>f(x)это интервал [ х 0-p, х 0+p]. Для системы Д. н.

было указано [3], что если каждая функция fi не yбывает по аргументам то имеет место оценка

подобная (2). Развитие этих рассмотрений приводит к теории Д. н. в пространствах с конусом.

Разновидностью Д. н. является требование знакопостоянства полной производной от заданной функции

применяемое в теории устойчивости.

Представителем другой группы является Д. н.

(3)

(e>0 задано), исследованное впервые в связи с общей концепцией о приближенном описании реальной задачи дифференциальными уравнениями [4]. Здесь интересно описание интегральной воронки, т. е. совокупности всех точек всех решений, удовлетворяющих заданным начальным условиям, в частности поведение воронки при Естественным обобщением Д. н. (3)является дифференциальное уравнение в контингенциях, к-рое задается с помощью поля конусов, обобщающего понятие поля направлений.

Для Д. н. изучалась и теория краевых задач. Д. н. (А- оператор Лапласа) определяет субгармонические функции, Д. н. определяет субпараболические функции. Рассматривались и более общего вида Д. н. (обеим упомянутых выше групп) с частными производными для дифференциальных операторов различных типов.

Лит.: [1] Petrovitsch M., "Math. Ann.", 1901, Bd 54 №3, S. 417-36; [2] Чаплыгин С. А., Основания нового способа приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, М., 1919; [3] Wazewski Т., "Ann. Soc. polon math.", 1950, t. 23, p. 112-66; [4] Bohl P., "J. reine und angew Math.", 1914, Bd 144, S. 284 - 313; [5] Haar А., в кн.: "Att del Congresso Internazionale dei Mathematici. Bologna". 1928 t. 3, Bologna, 1930, p. 5-10; [6] Walter W., Differential und Integral-Ungleichungen und ihre Anwendung bei Abschat zungs- und Eindeutigkeitsproblemen, В., 1964; [7] Szarski J., Differential inequalities, Wars., 1965; [8] Lakshmikantham V., Leela S., Differential and integra inequalities, v. 1 -2, N. Y., 1969.

А. Д. Мышкис


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО" в других словарях:

  • Неравенство Йенсена — обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком. Неравенство Йе …   Википедия

  • Дифференциальное уравнение в частных производных — (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Содержание 1 Введение 2 История …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ — дифференциальное уравнение, линейное относительно искомой функции одного независимого переменного и ее производных, т. е. уравнение вида где х(t). искомая, а ai(t), f(t) заданные функции; число пназ. порядком уравнения (1) (ниже излагается общая… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ — уравнение вида где A0(t), A1(t).при каждом t линейные операторы в банаховом пространстве Е, g(t) заданная, a u(t) искомая функции со значениями в Е;производная ипонимается как предел по норме Еразностного отношения. 1. Линейное дифференциальное… …   Математическая энциклопедия

  • МАТРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, неизвестной в к ром является функциональная матрица, входящая в уравнение вместе со своей производной. Пусть рассматривается линейное М. д. у. вида где есть матрица функция с локально интегрируемыми по Лебегу элементами, и пусть X(t)… …   Математическая энциклопедия

  • ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное дифференциальное уравнение, обладающее хотя бы одним осцилляционным (колеблющимся) решением. Имеются различные понятия осцилляционности решения. Наиболее распространены следующие: осцилляционность в точке (в качестве к рой, как… …   Математическая энциклопедия

  • СРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМА — в теории дифференциальных уравнений теорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что нек рым свойством обладает вспомогательное уравнение или… …   Математическая энциклопедия

  • ЧАПЛЫГИНА ТЕОРЕМА — о дифференциальном неравенстве: если в дифференциальном неравенстве все ai и f суммируемы на [x0, х 1],то существует такое не зависящее от f, что y(х) > z(x), где При этом где соответствующая функция Коши, т. e. решение уравнения L[G]=0 …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными где действительная функция удовлетворяет условиям: для всех действительных и существует , при к ром в соотношении (2) достигается равенство. Здесь: хесть n мерный вектор ; искомая …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»