- МАТРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
- уравнение, неизвестной в к-ром является функциональная матрица, входящая в уравнение вместе со своей производной.
Пусть рассматривается линейное М. д. у. вида
где
есть-матрица-функция
с локально интегрируемыми по Лебегу элементами, и пусть X(t)- абсолютно непрерывное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию X(to) - I, I - единичная матрица. Тогда вектор-функция
является решением линейной системы
удовлетворяющим условию
. Обратно, если
и
- решение системы (2), удовлетворяющее условию
то функциональная матрица X(t), столбцами к-рой служат решения
, является решением М. д. у. (1). Если при этом векторы
линейно независимы, то
при всех
Уравнение (1) является частным случаем следующего М. д. у. (возникающего в теории устойчивости)
Решение М. д. у. (3) с начальным условием
дается равенством
где U(t, s)- решение М. д. у. (1) с условием X(s, s)=I, a V(t, s)- решение М. д. у. X' = B(t)Xс условием X(s, s)=I.
В различных прикладных задачах (теории стабилизации, оптимального управления, фильтрации управляемых систем и др.) большую роль играет т. н. матричное дифференциальное уравнение Риккати
Напр., если матричное уравнение Риккати
где
означает транспонирование, имеет при
ограниченное на прямой
решение
и для всех
, всех
и нек-рого
выполнено неравенство
, то любое решение управляемой системы
замкнутой обратной связью
удовлетворяет неравенству
где
- евклидова норма в
, а постоянная Мне зависит от s.
Лит.:[1] Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; [2] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [3] Аткинсон Ф. В., Дискретные и непрерывные граничные задачи, пер. с англ., М., 1968; [4] Reid W. Т., Riccati differential equations, N. Y.-L., 1972 (Math. Sci. and Eng., v. 88); [5] Захар-Иткин M. X., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 3, с. 83- 120.
Е. Л. Тонков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.