ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

- обыкновенное дифференциальное уравнение, обладающее хотя бы одним осцилляционным (колеблющимся) решением. Имеются различные понятия осцилляционности решения. Наиболее распространены следующие: осцилляционность в точке (в качестве к-рой, как правило, берется ) и осцилляционность в промежутке. Ненулевое решение уравнения

где f(t,0,..., 0)=0, наз. осцилляционным в точке (в про межутк I), если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся к (соответственно имеет в I не менее пнулей с учетом их кратности). Осцилляционность уравнения (l) в или в промежутке I понимается в соответствующем смысле. Среди осцилляционных в уравнений выделяют уравнения, обладающие т. н. свойствами Аили В, т. е. в определенном смысле сходные с одним из уравнений

или

При этом уравнение (1) обладает свойством А, если каждое его решение, заданное в окрестности , при четном n является осцллляционным, а при нечетном п - либо осцилляционным, либо удовлетворяющим условию

Если же каждое решение уравнения (1), заданное в окрестности , при четном n является либо осцилляционным, либо удовлетворяющим условию (2) или

а при нечетном n - либо осцилляционным, либо удовлетворяющим условию (3), то оно обладает свойством В.

Линейное уравнение

с локально суммируемым коэффициентом обладает свойством А(свойством В), если

или

при , где , а m_n- наименьший (v _п- наибольший) из локальных минимумов (максимумов) многочлена (см. [1] - [5]). Уравнение типа Эмдена - Фаулера

с локально суммируемым неположительным (неотрицательным) коэффициентом обладает свойством А(свойством В).тогда и только тогда, когда

где (см. [4], [6], [7]).

В ряде случаев вопрос об осцилляционности уравнения (1) можно свести к аналогичному вопросу для эталонных уравнений вида (4) и (5) с помощью теорем сравнения (см. [11]).

При изучении осцилляционных свойств уравнений с отклоняющимся аргументом проявляются нек-рые специфич. особенности. Напр., если л почетно, и для больших tсоблюдается неравенство

то все ненулевые решения уравнения

являются осцилляционными в (см. [10], [11]). В то же время при неположительном аи нечетном пуравнение без запаздывания (4) всегда имеет неосцилляционное решение.

Понятия осцилляционности и неосцилляционности в промежутке изучаются в основном для линейных однородных уравнений. Они имеют фундаментальное значение для теории краевых задач (см. [12]).

Лит.:[1] Кneser A., "Math. Ami.", 1893, Bd 42, S. 409- 435; [2] Mikusinski J..G., "Colloq. Math.", 1949, v. 2, p. 34-39; [3] Кондратьев В. А., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1961, т. 10, с. 419-36; [4] Кигурадзе И. Т., "Матем. сб.". 1964, т. 65, № 2, с. 172-87; [5] Чантурия Т. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1976, т. 40, .№ 5, с. 1128-42; [6] Lick о I.,S v e с М., "Чехосл. матем. ж.", 1963, т. 13, с. 481 - 91; [7] Кигурадзе И. Т., "Arch. Math.", 1978, v. 14, № 1, p. 21-44; [8] Swansоn С. A., Comparison and oscillation theory of linear differential equations, N. Y.-L., 1968; [9] Xартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [10] Мышкис А. Д., Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, 2 изд., М., 1972; [11] Коплатадзе Р. Г., Чантурия Т. А., Об осцилляционных свойствах дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, Тб., 1977; [12] Левин А. Ю., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 2, с. 43-96. И. Т. Кигурадзе.