- ГОЛОМОРФНАЯ ФОРМА
степени рна комплексном многообразии М - дифференциальная форма
типа
, удовлетворяющая условию
, т. е. форма, к-рая в локальных координатах
на Мзаписывается в виде
где - голоморфные функции. Г. ф. степени робразуют
векторное пространство
(М). над полем
;
- это пространство голоморфных функций на М.
На компактном кэлеровом многообразии М пространство
совпадает с пространством
гармонических форм типа ( р,0), откуда следует, что
есть первое число Бетти многообразия [1]. Г. ф. на римановой поверхности Мназ. также дифференциалами первого рода; если поверхность Мкомпактна, то
равна ее роду.
Пространства
образуют локально точный комплекс относительно оператора d, наз. голоморф н. <ы м комплексом д е Рама. Если М - многообразие Штейна (см. Штейна пространство), то когомологии этого комплекса, изоморфны комплексным когомологням
и
Аналогично определяются Г. ф. со значениями в нек-ром векторном аналитическом расслоении Е над М(голоморфные 0-формы здесь - голоморфные сечения расслоения). Ростки Г. ф. степени рсо значениями в Еобразуют локально свободный аналитич. учок
. Комплекс Дольбо форм типа
, со значениями в Еесть тонкая резольвента этого пучка, откуда
(теорема Дольбо - Серра [1], [4]).
Определение Г. ф. можно распространить также на комплексные аналитич. ространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство Xявляется аналитич. одпространством в области
. Пучок ростков голоморфных р-форм
на Копределяется
как где
- пучок ростков голоморфных р-форм в G, а
состоит из ростков форм вида
где
- пучок идеалов, задающий X. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства X, к-рый, однако, не является локально точным. Для того чтобы этот комплекс был локально точен в точке
, начиная с k-й степени, достаточно, чтобы Xв окрестности точки хдопускало голоморфное стягивание на локальное аналитич. множество
, для к-рого
(см. [3]).
Лит.:[1] Чшэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ.,М., 1961; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] Rеiffen H.-J., "Math Z.", 1967, Bd 101, H. 4, S. 269-84; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М.. 1976. А. Л. Онищик.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.