Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\wp$-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\wp$ (стилизованное P).

Определение

Пусть задана эллиптическая кривая $E=\mathbb{C}/\Gamma$, где $\Gamma$ — решётка в $\mathbb{C}$. Тогда $\wp$-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right).$

Можно увидеть, что так определённая функция будет $\Gamma$-периодичной на $\mathbb{C}$, и потому является мероморфной функцией на $E$.

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда $\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2}$ — «наивной» попытки задать $\Gamma$-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на $\Gamma$ имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как$\frac{1}{|w|^2}$, а сумма $\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2}$ по двумерной решётке $\Gamma$ расходится.

Варианты определения

Задавая решётку $\Gamma$ её базисом, $\Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \mathbb{Z}\}$, можно записать

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right).$

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, $\wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}\wp(z;\omega_1,\omega_2)$, обозначив $\tau=\omega_2/\omega_1$, имеет место равенство

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).$

Поэтому рассматривают

$\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right).$

Свойства

• Функция Вейерштрасса $\wp_E:E\mapsto \widehat{\mathbb{C}}$ — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения $e_1, e_2, e_3$. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом $z\mapsto -z$ кривой E — точки 0 и трёх полупериодов $\omega_1/2,\omega_2/2, (\omega_1+\omega_2)/2$. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой $E/(z\mapsto -z)$ (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана $\widehat{\mathbb{C}}$.
• Воспользовавшись разложением $\frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j$ и просуммировав по $w\in \Gamma\setminus \{0\}$, можно получить разложение в точке $z=0$ функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2},$ где $G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k}$ — ряды Эйзенштейна для решётки $\Gamma$ (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при $z^2$ и $z^4$ зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в $\mathbb{C}P^2$:

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,$

где $g_2$ и $g_3$ — модулярные инварианты решётки $\Gamma$:

$g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma).$

Вложение эллиптических кривых в $\mathbb{C}P^2$

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в $\mathbb{C}P^2$, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую $E=\mathbb{C}/\Gamma$ в $\mathbb{C}P^2$ и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение $F:E\to \mathbb{C}P^2$, задаваемое вне точки $z=0$ как $F(z)=(\wp(z),\wp'(z))\in \mathbb{C}^2.$ Поскольку функция $\wp$ мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из $E$ в $\mathbb{C}P^2$.

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции $\wp(z)$, так и функции $\wp'(z)$ — это точка $z=0$. Более того, поскольку $\wp(z)$ — чётная функция, $\wp'(z)$ — нечётная, и, соответственно, $(\wp'(z))^2$ — чётная. Функция $\wp(z)$ имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса $(\wp')^2$ могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней $\wp$. Явно подбирая коэффициенты из разложений

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,$

$(\wp'_E(z))^2=\left(-\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2(\Gamma) z + \frac{1}{7}g_3(\Gamma) z^3 + \dots\right)^2 = \frac{4}{z^6} - \frac{2}{5} g_2(\Gamma) \frac{1}{z^2} - \frac{4}{7} g_3(\Gamma) + \dots,$

видим, что разница

$\varphi(z)=(\wp_E'(z))^2-4\wp_E^3(z)+g_2(E) \wp(z)$

в точке $z=0$ неособая. Но $\varphi(z)$ голоморфна и вне $z=0$ (в силу голоморфности $\wp$ и $\wp'$), поэтому $\varphi(z)$ — голоморфная на всей компактной римановой поверхности $E$ функция. В силу принципа максимума $\varphi(z)$ — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным $-g_3(E)$. Окончательно, функция $(\wp'(z))^2 -4 \wp^3(z) + g_2(E) \wp(z) +g_3(E)$ обращается на $E$ в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения $F$ это эллиптическая кривая в $\mathbb{C}P^2$, задаваемая уравнением

$y^2=4x^3-g_2(E) x - g_3(E).$

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты $g_2$ и $g_3$ с соответствующими суммами обратных степеней $G_2(E)$ и $G_3(E)$: это традиционный выбор нормировки, благодаря которому в уравнении на кривую $g_2$ и $g_3$ это в точности коэффициент при $x$ и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение

Для эллиптической кривой $E$ задающая её решётка $\Gamma$ не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре $(E,\omega)$, где $\omega$ — ненулевая голоморфная 1-форма на $E$: в качестве $\omega$ можно взять проекцию на $E$ формы $dz$ на $\mathbb{C}$, тогда $\Gamma$ восстанавливается как набор всевозможных интегралов $\omega$ по петлям на торе $E$:

$\Gamma=\left\{\int_{\gamma} \omega \mid \gamma\in H_1(E) \right\}$

На эллиптической кривой $y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)$, являющейся образом отображения $F=(\wp_E,\wp'_E)$, имеется голоморфная форма $\omega=\frac{dx}{y}$. Несложно видеть, что она является в точности образом формы $dz$ на $E$ при отображении $F$. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению $F$ ищется как интеграл формы $\omega$:

$z(x,y)= \int_{\infty}^{(x,y)} \frac{dx}{y},$

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой $F(E)$. Бесконечно удалённая точка на кривой $F(E)$ при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки $z=0$, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов $\Gamma$.

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

$\wp_E^{-1}(x) = \int_{\infty}^x \frac{dx}{\pm\sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}.$

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент $\Gamma$).

• Решётка $\Gamma$ восстанавливается как множество интегралов формы $\frac{dx}{y}$ по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой $y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)$.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Сложение точек на эллиптической кривой

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления $E=\mathbb{C}/\Gamma$ это просто сложение точек $\mathbb{C}$. Для «геометрического» — как вложенной в $\mathbb{C}P^2$ кривой $y^2=4x^3+px+q$ — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение $F=(\wp(z),\wp'(z))$ переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

$\det\begin{bmatrix} \wp(u) & \wp'(u) & 1\\ \wp(v) & \wp'(v) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1 \end{bmatrix}=0$

для любых $u+v+w=0$. Также, ввиду чётности $\wp$ и нечётности $\wp'$, оно может быть записано как

$\det\begin{bmatrix} \wp(z) & \wp'(z) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1\\ \wp(z+w) & -\wp'(z+w) & 1 \end{bmatrix}=0$

Применение в голоморфной динамике

С помощью $\wp$-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв $\Gamma=\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z} \}$, можно рассмотреть отображение $D$ удвоение на торе $E=\mathbb{C}/\Gamma$:

$D(z) = 2z \, \mod \mathbb{Z}[i].$

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение $D$ корректно спускается на фактор $S^2=E/(z\sim -z)$. Поэтому отображение D отображением $\wp$ полусопряжено некоторому рациональному отображению $R:\mathbb{C}P^1\to \mathbb{C}P^1$:

$\wp \circ D = R\circ \wp.$

Иными словами,

$R(z)=\wp(2 \wp^{-1}(z)).$

Для такого отображения $R$ образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа $J(R)=\mathbb{C}P^1$, а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения $R$ равна четырём (поскольку отображение $z\mapsto 2z$ на торе имеет степень 4), и его коэффициенты $R$ можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора $R$ в нуле через ряд Лорана для $\wp$ (и, соответственно, для $\wp^{-1}$).

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of $\mathbb{R}^2$, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.