Механика

Механика - наука о движении. Изучая движение, механика необходимодолжна изучать и причины, производящие и изменяющие движения, называемыесилами; силы же могут и уравновешивать друг друга, и равновесие можетбыть рассматриваемо как частный случай движения. Поэтому и учение оравновесии тоже составляет предмет механики, и, даже еще в весьманедавнее время, механику подразделяли на учение о равновесии, называемоестатикой, и учение о движении, называемое динамикой. Надо полагать, чтонекоторые понятия о законах движения и равновесия были достояниемнародов еще глубокой древности, потому что постройки древних индусов,ассирян и египтян требовали весьма сильных машин для поднятия назначительную высоту массивных камней, из которых они созидались, ноникаких точных сведений о состоянии М. в эти отдаленный времена мы неимеем; правильный теоретические рассуждения впервые встречаются только уАрхимеда, и в тех его сочинениях, которые дошли до настоящего времени,исследуются только вопросы, относящиеся к статике: теория рычага,равновесие плавающих тел, положению центра тяжести. Первые следыизучения вопросов динамики встречаются в трудах одаренного всеобъемлющимумом Леонардо да Винчи, родившегося в 1452 году, которому было ужеизвестно возрастание скорости при падении тел. Бенедетти, умерший в 1570году, имел уже понятие о существовании центробежной силы и о том, чтооторвавшаяся от вращающегося тела часть продолжает двигаться покасательной. Открытие начала возможных перемещений (см. ниже) вприменение его к выводу законов равновесия рычага, блоков и воротапринадлежит Гвидо Убальди, жившему от 1545 - 1607 г. Таким образоммеханика, как самостоятельная наука, начала зарождаться в Италии.Настоящим же основателем динамики по справедливости считают Галилея,который открыл: начало инерции, начало независимости движения и нашелзаконы падения тел. Исследования Галилея по механике изложены в егосочинениях: 1)"Discorso intorno alle cose che stanno in su l'acqua о chein quello si muovono", 2) "Dialogo intorno ai due niassimi sistemi delmondo", 3)"Discorsi e dimonstrationi matematiche intorno a due nuovescienze" и 4) "Della scienza mессаniса". При своей жизни Галилейприобрел славу более астрономическими своими открытиями, но наибольшаяего заслуга состоит, как замечает Лагранж, именно в открытии законовпадения тел: нужен был гений, чтобы выяснить закон явления самогообыденного и в то же время управляющего движениями миров, как это быловпоследствии обнаружено Ньютоном. Гюйгенс, пополнивший многиеисследования Галилея, установил точные понятия о центробежной силе и озаконах колебания маятника и этим еще более подготовил путь к открытиювсемирного притяжения, сделанному Ньютоном, поставившим механику напрочные основания изложением ее основных принципов. В книге Ньютона,появившейся в 1687 году под заглавием: "Philosophiae Naturalis Principiamathematica" и не имеющей себе равной по значению в истории развитияточных наук, основные начала механики изложены в виде трех законов: 1.закон инерции: каждое тело пребывает в своем состоянии покоя илиравномерного прямолинейного движения, если действующие на него силы непринуждают его изменить такое состояние. II. закон величин действия:изменение движения пропорционально приложенной действующей силе ипроисходит по той прямой линии, по которой действует сила. III. Законпротиводействий: всякому действию соответствует противодействие равное ипротивоположное, то есть, действия двух тел одно на другое всегда равныи направлены противоположно. Эта книга Ньютона и открытое им же,одновременно с Лейбницем, дифференциальное и интегральное исчислениедали сильный толчок дальнейшему развитию М. Яков и Даниил Бернулли,Клеро, Эйлер и многие другие ученые исследовали целый ряд механическихзадач первостепенной важности. Недоставало принципа, связующего динамикусо статикою. Этот принцип найден был Даламбером и изложен в его "Traite deDynamique", появившейся в 1743 г. Свобода движения тел и точек бываетиногда стеснена известного рода условиями, состоящими, например, в том,что точка может двигаться только по известной поверхности; такаяповерхность или вообще все, что стесняет движение, называется связью.Связи оказывают некоторые сопротивления - реакции - на точку или системуточек. Начало Даламбера состоит в том, что равнодействующая всех данныхсил, приложенных к каждой из точек рассматриваемой системы, разлагаетсяна две составляющих: на потерянную силу, уравновешивающуюся благодаряреакциям связей, и на движущую силу, сообщающую точке то самоеускорение, какое бы она сообщила свободной точке, обладающей той жемассою. Это начало приводит исследование движения к исследованиюравновесия, потому что может быть выражено так: данные силы и считаемыев обратную сторону движущие силы должны в течение движения находиться вравновесии. Этим началом воспользовался Лагранж и в своей "МecaniqueAnalytique" (1788) свел решение каких бы то ни было вопросов М. нарешение уравнений, устанавливаемых для всех вопросов совершеннооднообразным способом и вытекающих из одной общей формулы. Лагранжсоздал аналитическую М. Аналитическая М. представляет собою науку одвижении, приведенную к интегрированию некоторых общих уравнений и кисследованию получаемых результатов. Всякое тело представляетсясовокупностью материальных точек. Положение каждой точки определяется еекоординатами. Если координаты выражены как функции времени, напримересли дано: x=f(t) y=F(t) z=j(t), то этим вполне определено движение точки,потому что из этих уравнений для каждого значения времени t, считаемогоот начального момента, можно определить положение точки. Такиеуравнения, относятся ли они к одной точке или к целой системе точек,называются уравнениями движения. В равномерном движении скоростьюназывается отношение пройденного расстояния ко времени. Переменное движение можно рассматривать состоящим из ряда весьмамалых равномерных движений, вследствие чего в таком движении скоростьпредставляется пределом отношения бесконечно малого пути Ds к бесконечномалому промежутку времени Dt, в течение которого этот путь пройден.Следовательно; скорость v выражается производною проходимого пути повремени: . Точно также ускорение j выражается производною скорости по времени: и, следовательно, равно второй производной пути по времени: Весьма часто в М. употребляется прием, заключающийся в том, чторассматриваются не самые силы скорости и ускорения, а проложения их наоси координат: проложения сил X, Y, Z; проложения скоростей: проложения ускорений Из второго закона Ньютона вытекает, что сила пропорциональна массе mи ускорению и что, следовательно, для свободной точки: Для точки несвободной, движение которой стеснено связями, потерянныесилы должны, по началу Даламбера, слагаться из заданных сил и изсчитаемых в обратном направлении движущих сил. Поэтому проложенияпотерянных сил будут Все это было известно еще до Лагранжа. Лагранж выходит из началавозможных перемещений. Благодаря существованию связей, не все движениясистемы возможны. Элементы путей, пробегаемые точками в весьма малыепромежутки времени, при каком-либо возможном движении системы череззанимаемое ею положение, называются возможными перемещениями. Работоюназывается произведение пути, пройденного точкою, на приложение силы наэтот путь. Начало возможных перемещений состоит в том, что системанаходится в равновесии, если сумма работ заданных сил на протяжениивозможных перемещений равна нулю. Так, например: возможные перемещенияконцов рычага, на которые действуют параллельные силы, суть весьма малыедуги, описанные концами рычага как радиуса из точки опоры исоответствующие общему углу отклонения рычага. Эти дуги пропорциональныплечам и проходятся в противоположные стороны. Чтобы работы сил напротяжении этих дуг, служащих возможными перемещениями, в сумме давалинуль, необходимо, чтобы силы были обратно пропорциональны плечам. Этотпример представляет собою вывод законов рычага из начала возможныхперемещений, Лагранж применяет это начало к потерянным силам для всякогослучая движения и для всякой системы точек. Выразив, что сумма работпотерянных сил на протяжении возможных перемещении равна нулю, Лагранжполучил общее уравнение движения: где dx, dy, dz суть проложениявозможных перемещении на оси координат. Из этой общей формулы Лагранжвыводит систему уравнений, данную им в двух формах, которые, как и общаяформула, содержать в себе дифференциалы. Решение всякого механическоговопроса заключается после этого в освобождении формул Лагранжа отдифференциалов, т. е. в интегрировании лагранжевых уравнений. Общийспособ их интегрирования был исследован самим Лагранжем, Гaмильтoнoм,Пуассоном, Коши, Якоби, Мейером, Остроградским, Коркиным, Имшенецким имногими другими. В настоящее время в особенности замечательны в этомнаправлены работы Софуса-Ли и Фукса. Из основных законов М. или из общих уравнений Лагранжа могут бытьвыведены некоторые весьма общие положения, которые в прежнее времяпринимались за основные начала, но после Лагранжа служат более к тому,что прямо дают некоторые интегралы уравнений М. Эти положения суть: 1)начало движения центра инерции, состоящее в следующем: при движениисистемы материальных точек существует определяемая их конфигурациейгеометрическая точка, называемая центром инерции, движение этой точкипроисходит так, как будто бы она была свободною точкою, в которойсосредоточена масса всей системы и к которой приложены заданные силы.Если точки тяжелые, то их центр инерции есть в то же время их общийцентр тяжести. Начало движения центра инерции проявляется, напр., приразрыве летящей гранаты, осколки которой разбрасываются во все стороны,но общий их центр тяжести описывает тот самый путь, который был быописан центром тяжести гранаты, если бы она не лопнула. Это началовыражается уравнениями: которые легко интегрируются. В них М - масса всей системы, различныеm - массы точек; x, y, z координаты центра инерции. 2) закон площадейприменим ко всем тем случаям, когда в каждом положении системы возможновсякое ее вращение около неподвижного начала координат О. Этот законсостоит в том, что: сумма произведений масс на проложения (на плоскостикоординат) площадей, описываемых радиусами-векторами точек системы,возрастает пропорционально времени. Под именем радиуса-вектора точкиразумеется прямая, соединяющая ее с О. Из наблюдений над движениемпланет Кеплер (1571-1630) подметил существование этого закона вследующей форме: радиус-вектор, проведенный из центра солнца к центрупланеты, описывает в равные промежутки времени равные между собоюплощади. В таком приложении к планетам положение это носит названиевторого кеплеровского закона. 3) Начало наименьшего действия состоит вследующем: вообразим те из возможных для системы между ее двумя даннымиположениями движения, при которых: где Р есть некоторая функция от координат точек системы, hпостоянное; из всех таких движений только для тех из них интеграл будетнаименьшим, для которых Р есть потенциал. Потенциалом называетсяфункция, имеющая то свойство, что первые ее производные по координатамравны суммам проложений на соответственные оси координат заданных сил,так что: Не все силы имеют потенциал. Начало наименьшего действия применимо вовсех тех случаях, когда уравнения связей не содержат времени t, т. е.когда связи не изменяют своей формы. 4) закон сохранения живой силы.Живою силою точки называется половина произведения из ее массы наквадрат скорости, т. е. величина . Живою силою системы называется сумма живых сил всех точек,составляющих систему. Во всех тех случаях, когда уравнения связей несодержать времени, действует закон живой силы, заключающийся вследующем: если связи не зависят от времени, силы же имеют потенциал, торазность между силою и потенциалом сохраняет постоянную величину. Этотзакон выражается формулою: показывающею, что в случае возможности применить закон, еювыражаемый, приращение живой силы зависит только от координат начальногои конечного положения и будет то же самое, по какому бы пути точка непереходила из первого положения во второе. Если же система вернется вначальное положение, то живая сила получит начальную величину. Этоначало может быть выражено еще и в следующей форме: приращение живойсилы при переходе системы из одного положения в другое равно сумме работвсех действующих на систему сил. Этому способу выражения начала живыхсил соответствует формула: где v и v0 скорости во втором и в первом положении, F силы, a углы,ими составляемые, с направлениями движения точек, ds элементы путей,проходимых точками. Углубляясь в смысл уравнений М. и закона живых сил иисследуя соотношения, существующие между теплом, светом, электричествоми другими явлениями природы, Гельмгольц открыл управляющий ими общийзакон сохранения энергии и изложил его в 1847 г. в сочинении: "DieErhaltung der Kraft". Аналитическую М. теперь уже не разделяют на статику и динамику, адают ей подразделение на кинематику, изучающую движение, не касаясьпроизводящих его сил, и кинетику, изучающую движение в зависимости отпроизводящих его сил. Равновесие изучается как частный случай движения.Учение о движении жидких тел называется гидродинамикой. Интегрированиеобщих уравнений гидродинамики представляет до сих пор непреодолимыезатруднения; поэтому прибегают к косвенным способам. Наибольшимиуспехами гидродинамики, со времен Лагранжа являются открытиеГельмгольцем вихревых движений, выражаемых некоторыми уравнениямигидродинамики и особый искусственный способ Кирхгофа, основанный наконформном преобразовании мнимого переменного и весьма удачно обобщенныйпроф. Н. Е. Жуковским. Не менее важные главы аналитической М.представляют собою теория упругости и теория притяжения. До сих пор мыеще очень далеки от умения интегрировать уравнения М.; поэтому весьмачасто приходится довольствоваться небольшим числом интегралов,доставляемых началами центра, инерции, живых сил и площадей. Некоторыезадачи при знании только немногих интегралов, движения решены тем неменее довольно обстоятельно, в смысле получения довольно ясной картиныдвижения. Таковы, напр. картины движения твердого тела около неподвижнойточки, данные Пуансо и Дарбу. В приложении к астрономии М. получиланазвание небесной. Исследуя уравнения небесной М., Леверье открыл, безпомощи каких бы то ни было непосредственных наблюдений, только с помощьювычисления возмущений в движении Урана, планету Нептун. В приложении кфизике М. носит название теоретической физики, сделавшей в последнеевремя огромные завоевания в области электричества, благодаря созданнойМаксуеллем электромагнитной теории света, представляющейнепосредственное приложение Лагранжевых уравнений. В приложении к делурук человеческих - к машинам - М. служит основанием целого цикла наук,называемого практической М. и состоящего из теории механизмов,гидравлики, теория тепловых двигателей, теории сопротивления материалов,учения о конструкции машин, стоящих в тесной связи с технологией дерева,металлов и т. д. и с учением о сельскохозяйственных машинах и орудиях.Из первоклассных сочинений по аналитической М. укажем: Lagrange,"Mecanique Analytique"; Jacobi, "Vorlesungen uber Dynamik"; Kirchhoff,"Theoretische Physik" и Thomson and Tait, "Natural Philosophy". Лучшиеучебники: Бобылев, "Курс аналитической М."; Слудский, "Курстеоретической М."; Жуковский, "Лекции по гидродинамике"; Poisson,"Traile de Mecanique"; Collignon, "Traite de Mecanique"; Despeyrons,"Traite de Mecanique rationnelle". По практической М.: Вейсбах,"Практическая М. " (перев. Усова); Weisbach, "Lehrbuch der lngenieur undMaschinenmechanik, bearbeitet von Herrmann"; Reuleaux, "TheoretischeKinematik"; его же, "Der Konstrukteur"; Burmester, "Lehrbuch derKinematik"; Grashof, "Theoretische Maschinealehre". По истории развитияаналитической М. существует прекрасная книга: Duhring, "KritischeGeschichte der allgemeinen Principien der Mechanik". Н. Делоне.