Тетраэдр

Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
• Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
• Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Свойства тетраэдра

Правильный тетраэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	Треугольник
Вершин	$4\,\!$
Рёбер	$6\,\!$
Граней	$4\,\!$
Граней при вершине	$3\,\!$
Длина ребра	$a\,\!$
Площадь полной поверхности	$\sqrt3a^2\,\!$
Объём	$\frac{\sqrt2}{12}a^3$
Высота	$\frac{\sqrt6}{3}a$
Радиус вписанной сферы	$\frac{\sqrt6}{12}a$
Радиус описанной сферы	$\frac{\sqrt6}{4}a$
Угол наклона ребра	$\arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi$
Угол наклона грани	$\arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi$
Телесный угол при вершине	$\arccos\frac{23}{27}\approx 0.55129$ ср
Точечная группа симметрии	$\bar{4}3m\,$, или Td
Двойственный многогранник	Тетраэдр

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.^[1]:216-217

Типы тетраэдров

Выделяют следующие специальные виды тетраэдров.

• Равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.
• Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
• Правильный тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
• Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:^[2]
  • существует сфера, касающаяся всех ребер,
  • суммы длин скрещивающихся ребер равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
  • окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
  • все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
  • перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
• Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Объём тетраэдра

Объём тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках $~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1)$,

$~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2)$, $~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3)$, $~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)$, равен

$~ V = \frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}$

Тетраэдры в микромире

• Вода, Лёд, Н₂О
• Молекула метана СН₄
• Молекула аммиака NH₃
• Алмаз C — тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺
• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-

Тетраэдры в живой природе

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.^[3]

Ссылки

1. ↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
2. ↑ В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
3. ↑ http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер

	Тетраэдр на Викискладе?