Правильный тетраэдр

Тетраэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный треугольник
Вершин	$4\,\!$
Рёбер	$6\,\!$
Граней	$4\,\!$
Граней при вершине	$3\,\!$
Длина ребра	$a\,\!$
Площадь поверхности	$\sqrt3a^2\,\!$
Объём	$\frac{\sqrt2}{12}a^3$
Высота	$\sqrt\frac{2}{3}a\,\!$
Радиус вписаной сферы	$\frac{\sqrt6}{12}a$
Радиус описанной сферы	$\frac{\sqrt6}{4}a$
Угол наклона ребра	$\arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi$
Угол наклона грани	$70,53$
Группа симметрий	Тетраэдральная (Th)
Двойственный многогранник	Тетраэдр

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства правильного тетраэдра

• Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º.
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.

• Правильный тетраэдр с ребром х состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром х/2 и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром х/2.

• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.

• Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.

Ссылки

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.