Вы можете отметить интересные вам фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.


Правильный многогранник

Перевод
Правильный многогранник
Додекаэдр

Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Содержание

Определение

Многогранник называется правильным, если:

  1. он выпуклый;
  2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
  3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранников

Существует всего пять правильных многогранников:

Изображение Правильный многогранник Число сторон у грани Число рёбер, примыкающих к вершине Число вершин Число рёбер Число граней Тип пространственной симметрии
Tetrahedron.gif Тетраэдр 3 3 4 6 4 Th
Octahedron.gif Октаэдр 3 4 6 12 8 Oh
Icosahedron.gif Икосаэдр 3 5 12 30 20 Ih
Hexahedron.gif Гексаэдр или куб 4 3 8 12 6 Oh
Dodecahedron.gif Додекаэдр 5 3 20 30 12 Ih

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Комбинаторные свойства

  • Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
  • Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
    p — число сторон каждой грани;
    q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Многогранник Вершины Рёбра Грани Символ Шлефли
тетраэдр Тетраэдр 4 6 4 {3, 3}
куб Гексаэдр (куб) 8 12 6 {4, 3}
октаэдр Октаэдр 6 12 8 {3, 4}
додекаэдр Додекаэдр 20 30 12 {5, 3}
икосаэдр Икосаэдр 12 30 20 {3, 5}
  • Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:
    p\Gamma = 2\mbox{P} = q\mbox{B}.\,
Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:
\mbox{B} = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \mbox{P} = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \Gamma = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.

Геометрические свойства

Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

\operatorname{tg}\,\frac{\theta}{2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)},

где h принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект \delta при любой вершине правильного многогранника:

\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).

По теореме Декарта, он равен 4\pi делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен 4\pi).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (4\pi стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа \varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}золотое сечение.

Многогранник Двугранный угол
θ
\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} Плоский угол между рёбрами при вершине Угловой дефект (δ) Телесный угол при вершине (Ω) Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр 70.53° 1\over{\sqrt 2} 60° π \arccos\left(\frac{23}{27}\right) \approx 0.551286 π
куб 90° 1 90° \pi\over 2 \frac{\pi}{2} \approx 1.57080 2\pi\over 3
октаэдр 109.47° √2 60°, 90° {2\pi}\over 3 4\arcsin\left({1\over 3}\right) \approx 1.35935 \pi\over 2
додекаэдр 116.57° \varphi\, 108° \pi\over 5 \pi - \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{11}\right) \approx 2.96174 \pi\over 3
икосаэдр 138.19° \varphi^2\, 60°, 108° \pi\over 3 2\pi - 5\arcsin\left({2\over 3}\right) \approx 2.63455 \pi\over 5

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

  • Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
  • Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
  • Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами:

R = {a\over 2}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}
r = {a\over 2}\cdot\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2},

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

\rho = \frac{a\cos(\pi/p)}{2\sin(\pi/h)},

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

{R\over r} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}.

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

S = \left({a\over 2}\right)^2 \Gamma p\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}.

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

V = {1\over 3}rS.

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник
(a = 2)
Радиус вписанной сферы (r) Радиус срединной сферы (ρ) Радиус описанной сферы (R) Площадь поверхности (S) Объём (V)
тетраэдр 1\over {\sqrt 6} 1\over {\sqrt 2} \sqrt{3\over 2} 4\sqrt 3 \frac{2\sqrt 2}{3}
куб 1\, \sqrt 2 \sqrt 3 24\, 8\,
октаэдр \sqrt{2\over 3} 1\, \sqrt 2 8\sqrt 3 \frac{8\sqrt 2}{3}
додекаэдр \frac{\varphi^2}{\xi} \varphi^2 \sqrt 3\,\varphi 60\frac{\varphi}{\xi} 20\frac{\varphi^3}{\xi^2}
икосаэдр \frac{\varphi^2}{\sqrt 3} \varphi \xi\varphi 20\sqrt 3 \frac{20\varphi^2}{3}

Константы φ и ξ задаются выражениями

\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

В больших размерностях

  • Всего существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png
  • Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр и n-мерный куб (гиперкуб).

См. также

Примечания

  1. Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • правильный многогранник — ▲ многогранник ↑ идеальный правильный многогранник равносторонний равноугольный многогранник. тетраэдр. куб, гексаэдр. октаэдр. додекаэдр. икосаэдр …   Идеографический словарь русского языка

  • Правильный многогранник —         Многогранник, все грани которого одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой. Существует пять видов выпуклых П. м.: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр …   Большая советская энциклопедия

  • Правильный многогранник — геометрическое тело, ограниченное плоскими гранями, имеющими вид правильных многоугольников одинакового размера; все двугранные углы такого многогранника равны между собой, все многогранные углы при вершинах равны и заключают равное число граней …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ПРАВИЛЬНЫЙ — ПРАВИЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. 1. Не отступающий от правил, норм, пропорций. Правильное написание слова. Правильное произношение. Правильные черты лица. 2. Вполне закономерный, регулярный. Правильная смена времён года. 3. Верный, соответствующий… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПРАВИЛЬНЫЙ — ПРАВИЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. 1. Не отступающий от правил, норм, пропорций. Правильное написание слова. Правильное произношение. Правильные черты лица. 2. Вполне закономерный, регулярный. Правильная смена времён года. 3. Верный, соответствующий… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПРАВИЛЬНЫЙ — 1. ПРАВИЛЬНЫЙ, правильная, правильное (спец.). 1. прил. к правило в 1 и 2 знач. 2. прил., по знач. связанное с правкой, выверкой чего нибудь. Правильная плита (то же, что рихтовальная плита). Правильная палата (корректорская; устар.). 2.… …   Толковый словарь Ушакова

  • ПРАВИЛЬНЫЙ — 1. ПРАВИЛЬНЫЙ, правильная, правильное (спец.). 1. прил. к правило в 1 и 2 знач. 2. прил., по знач. связанное с правкой, выверкой чего нибудь. Правильная плита (то же, что рихтовальная плита). Правильная палата (корректорская; устар.). 2.… …   Толковый словарь Ушакова

  • Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник  это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения …   Википедия

  • МНОГОГРАННИК — МНОГОГРАННИК, многогранника, муж. (мат.). Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими прямолинейными гранями (треугольниками, четырехугольниками и т.д.). Правильный многогранник. || Такое же тело, ограниченное более, чем четырьмя… …   Толковый словарь Ушакова

  • МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… …   Энциклопедия Кольера

Книги

  • Куб, Jesse Russell. Внимание! Книга представляет собой набор материалов из Википедии и/или других online-источников. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Куб или правильный гексаэдр — правильный… Подробнее  Купить за 998 руб
  • Додекаэдр, Джесси Рассел. High Quality Content by WIKIPEDIA articles!Додека?эдр (от греч. ?????? — двенадцать и ????? — грань), двенадцатигранник — правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных… Подробнее  Купить за 998 руб
  • Правильный многогранник, Джесси Рассел. High Quality Content by WIKIPEDIA articles!Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Внимание! На данный товар не… Подробнее  Купить за 998 руб
Другие книги по запросу «Правильный многогранник» >>