Пирамида (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения).

Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обcуждения могут быть пояснения.

Возможно, этот раздел содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае он может быть удалён. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения.

Виды пирамид.

Элементы пирамиды.

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса^{[уточнить][источник не указан 64 дня]}

История развития геометрии пирамиды

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит ^[2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Элементы пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины ^[3];
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Углы пирамиды

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Развёртка пирамиды

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
• также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

Сфера

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие).^[4] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);^[5]
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

$V = \frac{1}{3} S h,$

где $\ S$ — площадь основания и $\ h$ — высота;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

$S_b = \sum_{i}^{}S_i$

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

$\ S_p = S_b + S_o$

• Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

$S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha$

где $a$ — апофема , $\ P$ — периметр основания, $\ n$ — число сторон основания, $\ b$ — боковое ребро, $\alpha$ — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые ребра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна $\pi$, а каждый из них соответственно $\frac{\pi}{n}$, где n — количество сторон многоугольника основания^[6];

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Связанные определения

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

Интересные факты

• Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Примечания

1. ↑ Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. — Просвещение, 2003 г.. — ISBN 5-09-010773-4
2. ↑ Б. Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — КомКнига, 2007 г.. — ISBN 978-5-484-00848-3
3. ↑ Апофема, БСЭ
4. ↑ С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов Изучение геометрии в 10-11-х классах.
5. ↑ А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008 г.. — ISBN 978-5-09-019708-3
6. ↑ «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. — научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск

Литература

• Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е. — Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
• А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин Стереометрия. 11 класс. — Физматкнига, 2005. — ISBN 5-89155-134-9
• А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008. — ISBN 978-5-09-019708-3

См. также

• Усечённая пирамида
• Бипирамида

В Викисловаре есть статья «пирамида»

Ссылки

• Бумажные модели пирамид  (англ.).
• «Начала» Евклида