Медиана треугольника

Медиана треугольника
Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Содержание

Свойства

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
  • При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
  • Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Формулы

m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,
поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.
  • Формула стороны через медианы:
a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2}, где m_a, m_b, m_c медианы к соответствующим сторонам треугольника, a, b, c — стороны треугольника.

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Мнемоническое правило

Медиана-обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.

Примечания

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Медиана (значения) — Медиана: Медиана треугольника  в планиметрии, отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны в статистике медианой называется значение совокупности, делящее ранжированный ряд данных пополам Медиана (статистика) … …   Википедия

  • Медиана — Медиана: Медиана треугольника  в планиметрии, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Медиана (статистика)  квантиль 0.5 Медиана (трасса)  средняя линия трассы, проведённая между правым и левым …   Википедия

  • Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы …   Википедия

  • МЕДИАНА — линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его основания. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. медиана (лат. mediana средняя) 1) геол. отрезок, соединяющий вершину треугольника с… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Медиана (в геометрии) — Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так …   Большая советская энциклопедия

  • МЕДИАНА — треугольника прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или… …   Математическая энциклопедия

  • МЕДИАНА — (от лат. mediana средняя) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны …   Большой Энциклопедический словарь

  • МЕДИАНА — МЕДИАНА, медианы, жен. (лат. mediana, букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных,… …   Толковый словарь Ушакова

  • МЕДИАНА — МЕДИАНА, ы, жен. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • МЕДИАНА (отрезок) — МЕДИАНА (от лат. mediana средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны …   Энциклопедический словарь

Книги