Тетраэдр Рёло

Тетраэдр Рёло

Тетра́эдр Рёло́ — тело, являющееся пересечением четырёх одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Это тело является пространственным аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов на плоскости.

Однако, в отличие от треугольника Рёло, тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в

$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2} = 1.02494\ldots$

раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра^[1][2].

Тела Мейсснера

Тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается»^[2][3]. Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник^[3]) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера^[1]. Сформулированная Томми Боннесеном и Вернером Фенхелем в 1934 году^[4] гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2009 год) эта гипотеза не доказана^[5].

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Weisstein E. W. Reuleaux Tetrahedron  (англ.). MathWorld.
2. ↑ ^{1 2} Kawohl B., Weber C. Meissner’s Mysterious Bodies (англ.) // Mathematical Intelligencer. — 2011. — Vol. 33. — № 3. — P. 94—101. — DOI:10.1007/s00283-011-9239-y
3. ↑ ^{1 2} Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 218
4. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Springer-Verlag, 1934. — P. 127—139.  (нем.)
5. ↑ Kawohl B. Convex sets of constant width (англ.) // Oberwolfach Reports. — 2009. — Vol. 6. — P. 390—393.

Литература

• Weisstein, Eric W. Reuleaux Tetrahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gardner M. Chapter 18: Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago; London: University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5  (англ.)