Интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_{i + 1} − x_i = h = const, то есть x_i = x₀ + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

$P_n(x)=\sum_{m=0}^{n} C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\,C_m^k\,f(k)$

где $C_x^m$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона

$P_n(x) = y_0 + q \Delta y_0 + \frac{q(q-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \ldots + \frac{q(q-1)\ldots(q-n+1)}{n!} \Delta^n y_0,$ где $q=\frac{x-x_0}h, \; y_i=f_i$, а выражения вида Δ^ky_i — конечные разности.

Обратная интерполяционная формула Ньютона

$P_n(x) = y_n + q \Delta y_{n-1} + \frac{q(q+1)}{2!} \Delta^2 y_{n-2} + \ldots + \frac{q(q+1)\ldots(q+n-1)}{n!} \Delta^n y_0,$ где $q=\frac{x-x_n}h$

См. также

• Интерполяционная формула
• Интерполяционный многочлен