Закон Био—Савара—Лапласа

Классическая электродинамика

Магнитное поле соленоида

Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Электродинамика Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-ток · 4-потенциал Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром. Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Формулировка

Пусть постоянный ток $\mathbf I$ течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме, $\mathbf{r}_0$ — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе СИ)

$\mathbf B = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I[d\mathbf{l};\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3}$

Направление $d\mathbf B$ перпендикулярно $d\mathbf l$ и $\mathbf r$, то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление $d\mathbf B$, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора $d\mathbf B$ определяется выражением (в системе СИ)

$dB = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I dl\sin\alpha}{r^2}$

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

$\mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I d\mathbf l(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|}$

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

$\operatorname{rot}\,\mathbf B = \frac{4\pi}{c} \mathbf j$

$\operatorname{div}\,\mathbf B = 0$

$\operatorname{rot}\,\mathbf E = 0$

$\operatorname{div}\,\mathbf E = 4\pi \rho$

где $\mathbf j$ — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС):

$\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A$

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

$\operatorname{div}\,\mathbf A = 0$

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

$\Delta \mathbf A = - \frac{4\pi}{c}\mathbf j$

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

$\mathbf A(\mathbf r_0) = \frac{1}{c} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} dV$

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)

$\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A = \frac{1}{c} \int \left[ \nabla \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} ; \mathbf j(\mathbf r) \right] dV = \frac{1}{c} \int\limits_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r);\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV$

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

$\mathbf j = I d\mathbf l$

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Вывод из Лоренц-инвариантности

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — 688 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7