КОРНЕВАЯ СИСТЕМА

- конечное множество Л векторов векторного пространства Vнад полем R, обладающее следующими свойствами: 1) Rне содержит нулевого вектора и порождает V;2) для каждого существует такой элемент а* сопряженного к F пространства V*, что и что эндоморфизм пространства Vпереводит Rв себя; 3) для всех

Впервые наборы векторов, обладающие перечисленными свойствами, возникли в теории полупростых комплексных алгебр Ли как системы весов присоединенного представления максимального тора такой алгебры (см. Вес представления, Ли полупростая алгебра). Позже было обнаружено, что такие системы векторов естественно появляются и во многих других разделах математики, напр. в алгебраической геометрии [4], [7], в теории особенностей [7], в теории целочисленных квадратичных форм [5]. С К. с. оказались также связанными нек-рые вопросы теории чисел [6].

Общие свойства К. с. Эндоморфизм s_a является отражением относительно a и определен свойствами 1) и 2) однозначно. Кеr a* является множеством неподвижных точек эндоморфизма Элементы из Л наз. корнями К. с. Л,dim V - рангом. К. с. Rназ. приведенной, если для любого вектор - a является единственным корнем, коллинеарным с a. Множество есть К. с. в V*, для к-рой при всех ; она наз. д у а л ь н о й (или обратной) К. с. к Л. Конечная группа А(R), образованная всеми автоморфизмами пространства F, переводящими Л в себя, наз. группой автоморфизмов К. с. R. Подгруппа W(R).в А(Л), порожденная отражениями наз. группой Вейля К. с. Л. Если V - прямая сумма своих подпространств V_i, i=1, ... , l, и Л,- - К. с. в V_i, то - К. с. в F, она наз. прямой суммой К. с. R_i. Непустая К. с. Л наз. неприводимой, если Л не является прямой суммой двух непустых К. с. Всякая К. с. является прямой суммой некоторого набора неприводимых К. с. и это разложение определено однозначно с точностью до порядка слагаемых.

Связные компоненты множества V -. являются открытыми симплициальными конусами и наз. камерами К. с. Л в У (см. Камера). Группа Вейля действует просто транзитивно на множестве всех камер. Замыкание камеры Сявляется фундаментальной областью дискретной группы W(R). Пусть L₁, ..., L_r - стенки камеры С. Для каждой стенки L_i существует единственный корень a такой, что и a_i; лежит по ту же сторону от L_i, что и С. Семейство корней a₁, ..., а _r образует базис в V, который наз. базисом К. с., определенным камерой С. Говорят также, что a₁, ..., а _r - набор простых корней, определенный камерой С. Группа W(R).порождена отражениями причем где m_ij - порядок - система определяющих соотношений для W(R), так что W(R).- Кокстера группа. Группа (К).есть полупрямое произведение подгруппы всех элементов из A(R), оставляющих множество a₁, ..., а _r инвариантным, и W(R). Выбор камеры Сопределяет отношение порядка в V(согласованное со структурой векторного пространства), при к-ром положительными считаются линейные комбинации простых корней a₁, ..., а _r с неотрицательными коэффициентами. Всякий корень оказывается либо положительным, либо отрицательным, а все его координаты в базисе a₁, ..., а _r - целочисленными. Подгруппа Q(R).в V, порожденная К. с. R, является решеткой (т, е. дискретной подгруппой ранга r), инвариантной относительно группы Вейля W(R). Ее элементы наз. радикальными весами К. с. Л. Группы Вейля К. с. могут быть охарактеризованы среди всех дискретных линейных групп, порожденных отражениями, как такие, к-рые не имеют ненулевых неподвижных векторов и обладают инвариантной решеткой. Если Q(R).рассматривать как группу параллельных переносов пространства V, то полупрямое произведение W_a(R).группы W(R).на Q(R).наз. аффинной группой Вейля К. с. Л. W_a(R).является дискретной группой преобразований пространства V, порожденной отражениями в гиперплоскостях где Факторпространство пространства Vпо W_a(R).компактно; если Rнеприводима, то фундаментальной областью для W_a(R).будет симплекс.

На Vможет быть выбрана (неоднозначно) билинейная симметрическая положительно определенная форма (,), инвариантная относительно W(R). Эта форма снабжает Vструктурой евклидова пространства, в к-ром элементы из W(R).являются ортогональными преобразованиями, а отражение имеет для всех вид

С помощью формы ( , ) простоанства Vи V* могут быть отождествлены, и тогда а условие 3) определения К. с. означает, что для всех ,

Введение формы (,) позволяет говорить о метрических соотношениях между корнями, в частности об угле между корнями в о длине корня. Величина угла оказывается не зависящей от выбора формы (,), а если К. с. Л неприводима, то это верно и для отношения длин двух корней.

Классификация К. с. Пусть a₁, ..., а _r - некоторый фиксированный базис приведенной К. с. Л и n_ij=п(a_i, а _j). Матрица , наз. матрицей К а р т а н а К. с. Л; в ней п _ij=2, а л/у при могут быть равны 0, -1, -2 или -3. С точностью до перестановки индексов эта матрица не зависит от выбора базиса. Две К. с. с одинаковыми матрицами Картана изоморфны.

С К. с. обычно связывают граф Кокстера К. с., вершинами к-рого служат элементы базиса a₁, ..., а _r, причем вершины a_i иa_j соединены одним, двумя, тремя ребрами или не соединены вовсе в случаях, когда произведение n_ijn_ji равно соответственно 1, 2, 3 или 0. К. с. неприводима тогда и только тогда, когда ее граф Кокстера связен. Граф Кокстера определяет лишь углы между парами корней базиса; по нему не восстанавливается матрица Картана (но восстанавливается группа Вейля): существуют дуальные неизоморфные К. с. с одинаковыми графами Кокстера. Однако матрица Картана (а с ней и К. с.) полностью определяется ориентированным графом Кокетера, наз. также схемой простых корней К. с. Л. Ориентация вводится по правилу: если простые корни a_i и a_j не ортогональны и имеют разную длину, то на двух или трех ребрах, соединяющих i-ю и j-ю вершины, ставится знак неравенства >, ориентированный в сторону вершины, отвечающей корню меньшей длины. В нек-рых случаях над каждой вершиной графа Кокстера надписывают число, пропорциональное квадрату длины соответствующего корня (с общим для всех корней коэффициентом пропорциональности); по такому взвешенному графу также однозначно восстанавливается К. с.

Полный список попарно неизоморфных неприводимых приведенных К. с., заданных своими схемами простых корней, следующий:

Конструкция неприводимых К. с. Пусть e₁, ..., е _п - канонический базис в Rⁿ, (,) - скалярное произведение в Rⁿ, для к-рого (e_i, e_j)=d_ij, и Г _п - решетка в Rⁿ, порожденная векторами e₁, ..., е _п.

1) Пусть V - гиперплоскость в Rⁿ⁺¹, ортогональная вектору e₁, ..., е _п+1. Тогда

есть К. с. типа А _п. Для n=2 она имеет вид

2) Множество векторов

в Rⁿ есть К. с. т и п а В _n. Для n=2 она имеет вид

3) К. с. т и п а С _п дуальна системе В _п и состоит из векторов

4) Множество векторов

в Rⁿ есть К. с. типа D_n.

5) К. с. т и п a G₂ имеет вид

и может быть описана как множество целых алгебраич. чисел кругового поля, порожденного кубич. корнем из единицы с нормой 1 или 3.

6) Множество векторов

в R⁴ есть К. с. типа F₄. 7) Множество векторов

в R⁸ есть К. с. типа E₈.

8) К. с. т и п а Е ₆ может быть получена как пересечение К. с. типа Е ₈ с подпространством в R⁸, натянутым на e₁,..., e₆.

9) К. с. т и п а E₇ может быть получена как пересечение К. с. типа E₈ с подпространством в R⁸, натянутым На e₁,..., e₇.

10) В каждой размерности существует ровно одна (с точностью до изоморфизма) неприведенная неприводимая К. с. ВС _п. Она есть объединение указанных выше К. с. В _п и С _п. Для п=2 такая система имеет вид

Об аффинных К. с. см. [6].

Лит.:[1]Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли..., пер. с франц., М., 1972; [2] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 1969; [3] С т е и н б е р г Р., Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; [4] М а-н и н Ю. И., Кубические формы, М., 1972; [5] М i 1 п о г J., Husemoller D., Symmetric bilinear forms, В.-Hdlb.- N. У., 1973; [6J Макдональд И. Г., "Математика", 1972, т. 16, № 4, с. 3-49; [7] А р н о л ь д В. И., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 5, с. 3-65. В. Л. Попов.