Двоеточие Александрова

Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова — наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определение

Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов $\circ$ («открыто») и $\bullet$ («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

1. $\emptyset$ — пустое множество;
2. $\{\circ\}$ — множество из одного элемента «открыто»;
3. $\{\circ,\bullet\}$ — всё пространство.

Описание

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только $\{\circ\}$, а замкнутым — только $\{\bullet\}$. Мы видим, что точка $\{\bullet\}$ не имеет окрестностей кроме всего пространства, следовательно пространство нарушает аксиому T1, а значит и не является хаусдорфовым. Также мы видим что точка $\{\circ\}$ не является замкнутым подмножеством.

Свойства

Отображение F из топологического пространства X в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз $F^{-1}(\circ)$ точки $\{\circ\}$ открыт в X (или, что то же самое, прообраз $F^{-1}(\bullet)$ точки $\{\bullet\}$ замкнут в X). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.

Литература

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — ISBN 5-354-00822-0