МАТЕМАТИКА

- наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что это общее определение М. наполняется все более богатым содержанием.

Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6 -5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Первые задачи механики и физики могли еще удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур. С употребления переменных величин в аналитич. еометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание "воображаемой геометрии" Лобачевского было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в М. столь важные новые черты, что М. 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.

1. Зарождение математики. Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметич. действий. Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку - арифметику. Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее астрономии вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной степени независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии - начатки тригонометрии.

2. Период элементарной математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематич. развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создается систематич. учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число).оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного чисел относятся к более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого периода. Период элементарной математики заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин.

3. Период создания математики переменных величин. С 17 в. начинается существенно новый период развития М. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума нек-рых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движения и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. 18 и нач. 19 вв. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображении функциональных зависимостей.

4. Современная математика. Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако помимо этого количественного роста с кон. 18 и в нач. 19 вв. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привел к необходимости углубленного логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие функции комплексного переменного теории, занявшей в нач. и сер. 19 в. центральное положение во всем математич. анализе. Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась Лобачевского геометрия.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного исчислений. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировна правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрия, и алгебраич. систем.

Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее "обоснования", т. е. критич. пересмотру ее исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критич. рассмотрению логич. приемов, употребляемых при этих доказательствах. Стандарт требований к логич. строгости, предъявляемых к практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий, сложился только к кон. 19 в. Глубокий и тщательный анализ требований к логич. строгости доказательств, строения математич. теорий, вопросов алгоритмич. разрешимости и неразрешимости математич. проблем составляет предмет математической логики.

В нач. 19 в. происходит новое значит. расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро растут и математич. запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математич. физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений обыкновенных, дифференциальных уравнений с частными производными и математической физики уравнений.

Теория дифференциальных уравнений послужила отправным пунктом исследований по топологии многообразий. Здесь получили свое начало "комбинаторные", "гомологические" и "гомотопические" методы алгебраической топологии. Другое направление в топологии возникло на почве множеств теории и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологических пространств.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы вероятностей теории. Если в нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в кон. 19 и в нач. 20 вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики.

Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с 19 в. развивалась в различных направлениях как стройная теория (см. Алгебраическая теория чисел, Аналитическая теория чисел, Диофантовы приближения).

Центр тяжести алгебраич. исследований переносится в новые области алгебры: теорию групп, полей, колец, общих алгебраич. систем. На границе между алгеброй и геометрией возникает теория непрерывных групп, методы к-рой позднее проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков гл. образом под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, где сосредоточиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.

В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла функций действительного переменного теория.

Практич. использование результатов теоретического математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в кон. 19 и в нач. 20 вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь М.- вычислительную математику.

Отмеченные основные особенности современной М. и перечисленные основные направления исследований М. по разделам сложились в нач. 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 в. Однако потребности развития самой М., "математизация" различных областей науки, проникновение математич. методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит. техники привели к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин (см., напр., Автоматов теория, Информации теория, Игр теория, Исследование операций, а также Кибернетика, Математическая экономика). На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возник дискретный анализ. Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физич. или механич. системами, описываемыми дифференциальными ур-ниями, привели к созданию оптимального управления математической теории.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислит, техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

По материалам статьи А. Н. Колмогорова[1]. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Математика, в кн.: Большая Советская Энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; [2] Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в кн.: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; [3] Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; [4] Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1-3, М.,1956; [5] История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970-72; [6] Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; [7] Математика ХIХ века. Геометрия. Теория аналитических функций, М., 19.81; [8] С т р о й к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 3 изд., М., 1978; [9] Марджанишвили К. К., Математика в Академии наук СССР, "Вестн. АН СССР", 1974, № 6; [10] W е у l Н., A Half-century of mathematics, "Amer. Math. Monthly", 1951, v. 58, № 8.