Векторное исчисление

Векторное исчисление

Ве́кторное исчисле́ние — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторный анализ подразделяется на

  • векторную алгебру;
  • векторный анализ;
  • функциональный анализ.

Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру) и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.

Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике[2].

Содержание

Разделы векторного исчисления

Векторная алгебра

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[3]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[4]

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[5].

Векторный анализ

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[6]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре D\left( M \right). Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[8].

Функциональный анализ

Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций y = f\left( x \right), где по крайней мере одна из переменных x,\,y меняется по бесконечному пространству[9].

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[10], в теории обработки сигналов[11], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[12], алгебраической геометрии[13] и т. д.

Примечания

  1. Иванов А. Б. Векторное исчисление. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 640
  2. Онищук А. Л. Тензорное исчисление. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 330
  3. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 632—636
  4. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970
  5. Онищук А. Л. Тензорная алгебра. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 329
  6. Иванов А. Б. Векторный анализ. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 648
  7. движения энергии в телах (Умов)/I
  8. Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
  9. Березанский Ю. М., Левитан Б. М. Функциональный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 705—712
  10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
  11. Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
  12. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
  13. Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Векторное исчисление" в других словарях:

  • ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются операции над векторами. Векторное исчисление включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий над векторными величинами. Напр., суммой векторов a и b… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Векторное исчисление —         математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над Векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и… …   Большая советская энциклопедия

  • векторное исчисление — раздел математики, в котором изучаются операции над векторами. Векторное исчисление включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий над векторными величинами. Например, суммой векторов а и b… …   Энциклопедический словарь

  • ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — устаревшее название раздела математики, в к ром изучаются свойства операций над векторами. В. и. подразделяют на векторную алгебру п векторный анализ. В векторной алгебре изучают линейные операции (сложение векторов и умножение векторов на число) …   Математическая энциклопедия

  • векторное исчисление — vektorinis skaičiavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector calculus vok. Vektorrechnung, f rus. векторное исчисление, n pranc. calcul vectoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математи ки, в к ром изучаются операции над векторами. В. и. включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий над векторными величинами. Напр., суммой векторов я и наз. вектор, идущий из… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Векторное поле —         область, в каждой точке Р которой задан вектор а (Р). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор функции a (Р) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и… …   Большая советская энциклопедия

  • Векторное произведение —         вектора а на вектор b вектор, обозначаемый [а, b] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b] равна произведению длин векторов а и b на синус угла φ между ними (берётся тот из двух углов между а и b, который не превосходит π), 2) вектор… …   Большая советская энциклопедия

  • Векторное пространство —         математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторов обычного трёхмерного пространства.          Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на… …   Большая советская энциклопедия

  • Тензорное исчисление —         математическая теория, изучающая величины особого рода тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Векторное исчисление» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»