- Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
-
Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если
— алгебраическое число степени
, а
и
— любые целые числа
, то имеет место неравенство
где
— положительная константа, зависящая только от
и выражаемая в явном виде через сопряженные с
величины.
С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например
Обобщения
При
теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для
теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.
В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел
степени
и
справедливо неравенство
(*)
Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при
, где
— целое,
в частности, при
. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при
. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом
. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число
, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений
, удовлетворяющих неравенству
.
Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная
в неравенстве зависит от величин
и
.
См. также
- Лиувиллево число
Ссылки
- Michael Filaseta. The Beginning of Transcendental Numbers
Категории:- Диофантовы приближения
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.