Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если $\alpha$ — алгебраическое число степени $n$, а $p$ и $q$ — любые целые числа $(q \ne 0)$, то имеет место неравенство

$\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^n}$

где $C$ — положительная константа, зависящая только от $\alpha$ и выражаемая в явном виде через сопряженные с $\alpha$ величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

$\xi=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n!}}.$

Обобщения

При $n = 2$ теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для $n \ge 3$ теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел $\alpha$ степени $n$ и $\nu>\frac n2+1$ справедливо неравенство

$\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^\nu}$    (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

$\nu > \min_{s=\{1,\;2,\;\ldots,\;n-1\}}\left(\frac n{s+1}+s\right)$, где $s$ — целое,

в частности, при $\nu > 2 \sqrt n$. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при $\nu > \sqrt{2n}$. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом $\nu > 2$. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число $\xi$, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений $p/q$, удовлетворяющих неравенству

$\left|\xi-\frac pq\right|<\frac 1 {q^2}$.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная $C = C(\alpha,\;\nu)$ в неравенстве зависит от величин $\alpha$ и $\nu$.

См. также

• Лиувиллево число

Ссылки

• Michael Filaseta. The Beginning of Transcendental Numbers