Ядро интегрального уравнения

Ядром интегрального оператора называется функция двух аргументов $K(x,\;y)$, определяющая некий интегральный оператор $\mathcal{A}$ равенством

$\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),$

где $x\in\mathbb{X}$ — пространство с мерой $d\mu(x)$, а $\varphi(x)$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на $\mathbb{X}$.

Примеры

• Ядро $K(x,\;y)$ называется $L_2$-ядром, если оно удовлетворяет условию:

$\int\limits_D\int\limits_D |K(x\;y)|^2\,dx\,dy<+\infty,$

где $K(x,\;y)$ — измеримая на $D$ функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

$K(x,\;y)\equiv 0$ при $y>x$

называется ядром Вольтерра.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество $K(x,\;y)=K(y,\;x)$.
• Если выполняется тождество $K(x,\;y)=\overline{K(y,\;x)}$, где $\overline{K(y,\;x)}$ — комплексно сопряжённое к $K(x,\;y)$, то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро $K(x,\;y)$ допускает разложение вида:

$K(x,\;y)=\sum_{k=1}^n X_k(x)Y_k(y),$

где $\{X_i(x)\},\;\{Y_i(y)\}$ $(i=1,\;2,\;\ldots,\;n)$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ($L_2$-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле (англ.)русск. — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера (англ.) о разложении ядра гласит:

Если симметричное $L_2$-ядро $K(x,\;y)$ непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) $\lambda_k$, то справедливо представление: $K(x,\;y)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\varphi_k(x)\varphi_k(y)}{\lambda_k},$ где $\{\varphi_k(x)\}$ — ортогональная система $L_2$-функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0.