Интегрирование рациональных дробей

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело значительно более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Иногда выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.

Подведение под знак дифференциала

Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее).

$\int f(x)dx = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{\frac{d(u(x))}{dx}} = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}$

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл $\int F(x)dx$. Сделаем подстановку $~x=\varphi(t)$, где $~\varphi(t)$ — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда $~dx = \varphi'(t)\cdot dt$ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

$\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt$

Интегрирование выражений вида $\int \sin^n x \cos^m x~dx$

Если m = 2k + 1,m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t

Если n = 2k + 1,n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t

Примеры

Вычислить: $\int \sin^2 x \cos x~dx$ Пусть sinx = t, тогда $\cos x~dx=dt$

$\int \sin^2 x \cos x~dx = \int t^2 dt = \frac {t^3} {3} + C= \frac {\sin^3 x} {3} + C$

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

$\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v du$

С помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

$\int P_{n+1}(x) e^x\,dx$,

где P_{n + 1}(x) — многочлен (n + 1)-ой степени.

Интегрирование рациональных дробей

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших.

Всякую правильную рациональную дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$, знаменатель которой разложен на множители

$Q(x)= (x-x_1)^{k_1} \cdot (x-x_2)^{k_2} \cdot ... \cdot (x^2+p_1 x + q_1)^{s_1} \cdot ... \cdot (x^2+p_m x + q_m)^{s_m}$ можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей: $\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{A_1}{x-x_1}+ \frac{A_2}{(x-x_1)^2}+ \dots +\frac{A_{k_1}}{(x-x_1)^{k_1}}+ \frac{B_{1}}{(x-x_2)}+\frac{B_{2}}{(x-x_2)^2}+\dots+\frac{B_{k_2}}{(x-x_2)^{k_2}}+ \dots$

$+ \frac{C_1 x + D_1}{x^2+p_1 x +q_1}+\frac{C_2 x + D_2}{(x^2+p_1 x +q_1)^2}+ \frac{C_{s_1} x + D_{s_1}}{(x^2+p_1 x +q_1)^{s_1}}+ \dots$

$+ \frac{M_1 x + N_1}{x^2+p_m x +q_m}+\frac{M_2 x + N_2}{(x^2+p_m x +q_m)^2}+ \dots + \frac{M_{s_m} x + N_{s_m}}{(x^2+p_m x +q_m)^{s_m}}$

где $A_1,A_2, \dots , B_1 , B_2 , \dots , C_1 , C_2 ,\dots , M_1 , N_1 , \dots$ — некоторые действительные коэффициенты. Обычно неизвестные коэффициенты находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов.

См. также

• Формулы Фруллани