Конгруэнция

В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.

У этого термина существуют и другие значения, см. Конгруэнтность.

Математическая логика

Отношение $P(x_1, \ldots, x_n)$ на множестве $A$ называется стабильным относительно $m$-арной операции $F$, определённой на этом множестве, если для любых элементов $a_{i1}, \ldots, a_{in}$, $i = 1, \ldots, m$, множества $A$ из истинности отношений

$P(a_{i1}, \ldots, a_{in})$, $i = 1, \ldots, m$,

вытекает истинность отношения

$P(F(a_{11}, \ldots, a_{m1}), \ldots, F(a_{1n}, \ldots, a_{mn}))$.

Отношение $P$ называется стабильным на алгебраической системе $\mathcal{A}$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы $\mathcal{A}$. Конгруэнцией называется стабильное отношение эквивалентности $\theta$ на алгебраической системе. Заметим, что при таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы $\mathcal{A}$.

Рассмотрим алгебраическую систему $\mathcal{A}$ язык $L$ которой не содержит предикатов. Через $A / \theta$ обозначим фактор-множество множества $A$ по отношению эквивалентности $\theta$, через $a / \theta$ — смежный класс элемента $a$. На множестве $A / \theta$ естественным образом интерпретируются функциональные и константные символы языка $L$ (соответствующую алгебраическую систему обозначим $\mathcal{A} / \theta$):

$c^{\mathcal{A} /\theta} = c^{\mathcal{A}} / \theta,$

$f^{\mathcal{A} /\theta}(a_1 / \theta, \ldots, a_{n_f} / \theta) = f^{\mathcal{A}}(a_1, \ldots, a_{n_f}) / \theta.$

Отображение $h \colon \mathcal{A} \to \mathcal{A} / \theta$, определяемое правилом $h(a) = a / \theta$, называется каноническим эпиморфизмом.

Обозначим символом $\mathrm{Con}(\mathcal{A})$ множество всех конгруэнций на алгебраической системе $\mathcal{A}$. На этом множестве определено отношение включения:

$\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b$.

Относительно этого включения множество $\mathrm{Con}(\mathcal{A})$ образует полную решётку.

Имеет место следующая теорема.

Теорема Ремака. Пусть $\mathcal{A}$ — алгебраическая система (без предикатов), $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathcal{A})$, тогда $\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i}$ вкладывается в прямое произведение $\prod_{i \in I}{\mathcal{A} / \theta_i}$.

Линейная алгебра

В линейной алгебре две вещественные (комплексные) матрицы $A$ и $B$ называются конгруэнтными, если существует невырожденная матрица $Q$ такая, что $A=Q^TBQ~(A=Q^HBQ)$.

Литература

• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.
• А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1975.

См. также

• Алгебра