Метод конечных элементов


Метод конечных элементов
Решение методом конечных элементов двухмерной магнитостатической задачи (линии и цвет означают направление и величину магнитной индукции)
Разбиение на конечные элементы. Размер элементов можно менять, уменьшая его вблизи интересующей области, и увеличивая — для снижения затрат процессорного времени

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Содержание

Идея метода

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) является решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

Иллюстрация метода на одномерном примере

Функция на H_0^1, с нулевыми значения на концах (голубая), и аппроксимация этой функции отрезками (красная).
Базисные функции vk (голубые) и линейная комбинация из них, которая аппроксимирует искомую функцию (красная).

Пусть в одномерном пространстве Р1 необходимо решить следующее одномерное дифференциальное уравнение для нахождения функции u на промежутке от 0 до 1. На границах области, значение функции u равно 0:

\mbox{ P1 }:\begin{cases}
u''(x)=f(x) \mbox{ in } (0,1), \\
u(0)=u(1)=0,
\end{cases}

где f известная функция, u неизвестная функция от x. u'' вторая производная от u по x. Решение поставленной задачи методом конечных элементов разобьём на 2 этапа:

  • Переформулируем граничную задачу в так называемую слабую (вариационную) форму. На этом этапе вычислений почти не требуется.
  • На втором этапе разобьём слабую форму на конечные отрезки-элементы.

После этого возникает проблема нахождения системы линейных алгебраических уравнений, решение которой аппроксимирует искомую функцию.

Если u есть решение, то для любой гладкой функции v, которая удовлетворяет граничным условиям v=0 в точках x=0 и x=1, можно записать следующее выражение:

(1) \int_0^1 f(x)v(x) \, dx = \int_0^1 u''(x)v(x) \, dx.

С помощью интегрирования по частям преобразуем выражение (1) к следующей форме:

(2)
\begin{align}
 \int_0^1 f(x)v(x) \, dx & = \int_0^1 u''(x)v(x) \, dx \\
 & = u'(x)v(x)\bigg|_0^1-\int_0^1 u'(x)v'(x) \, dx \\
 & = -\int_0^1 u'(x)v'(x) \, dx = -\phi (u,v).
\end{align}

Оно получено с учётом того, что v(0)=v(1)=0.

Разобьём область, в которой ищется решение

u \in  H_0^1 такое, что
\forall v \in H_0^1, \; -\phi(u,v)=\int fv

на конечные промежутки, и получим новое пространство  V :

(3)u \in V такое, что
\forall v \in V, \; -\phi(u,v)=\int fv

где V кусочная область пространства H_0^1. Есть много способов для выбора функций V. Выбираем такую V, чтобы оно представлялось прямыми линиями (полиномами первой степени):

v_{k}(x)=\begin{cases} {x-x_{k-1} \over x_k\,-x_{k-1}} & \mbox{ if } x \in [x_{k-1},x_k], \\
{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_k} & \mbox{ if } x \in [x_k,x_{k+1}], \\
0 & \mbox{ otherwise},\end{cases}

для k=1,...,n (в данном примере n=5)

Задача преобразована.

Преимущества и недостатки

Метод конечных элементов сложнее в реализации метода конечных разностей. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

Долгое время широкому распространению МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического разбиения области на «почти равносторонние» треугольники (погрешность, в зависимости от вариации метода, обратно пропорциональна синусу или самого острого, или самого тупого угла в разбиении). Впрочем, эту задачу удалось успешно решить (алгоритмы основаны на триангуляции Делоне), что дало возможность создавать полностью автоматические конечноэлементные САПР.

История развития метода

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах. Идея МКЭ была разработана в СССР ещё в 1936 году[источник не указан 1083 дня], но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя МКЭ.

Системы анализа, основанные на методе

Наиболее распространёнными вычислительными системами, основанными на методе конечных элементов являются:

  • ABAQUS — универсальная система МКЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  • ANSYS — универсальная система МКЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  • COMSOL Multiphysics (англ.)русск. [1] — универсальная система МКЭ анализа с пре-/постпроцессором;
  • DEFORM-2D/3D — система МКЭ анализа для моделирования технологических процессов обработки давлением и резанием;
  • FEM Models — система конечно-элементного анализа, преимущественно для решения геотехнических задач;
  • Femap — независимый от САПР пре- и постпроцессор Siemens PLM Software для проведения инженерного анализа МКЭ
  • FreeFEM++ - реализация метода МКЭ для решения систем уравнений в частных производных в виде открытой среды программирования
  • Impact — универсальная система МКЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  • LS-DYNA — универсальная система нелинейного динамического КЭ анализа;
  • MSC.Nastran — универсальная система МКЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;
  • NEiNastran — универсальная система МКЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;
  • NX Nastran — инструмент для проведения компьютерного инженерного анализа (CAE) проектируемых изделий МКЭ от компании Siemens PLM Software;
  • SAMCEF — универсальная система МКЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field;
  • Temper-3D — система МКЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт);
  • Zebulon — универсальная система МКЭ анализа с расширенной библиотекой нелинейных моделей материалов.
  • Z88 (англ.)русск. Сврободно распространяемая система с открытым исходным кодом (лицензия GNU-GPL)[2];
  • ПК Лира— многофункциональный программный комплекс, предназначенный для проектирования и расчета машиностроительных и строительных конструкций различного назначения;
  • ПК СТАДИО - универсальный конечно-элементный программный комплекс для статического и динамического расчета произвольных пространственных комбинированных систем.
  • ПК СТАРКОН - многофункциональный программный комплекс, предназначенный для проектирования и расчета строительных конструкций различного назначения на все виды нагрузок;

Другие программы, реализующие метод

См. также

Литература

  • Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984
  • Деклу Ж. Метод конечных элементов: Пер. с франц. — М.: Мир, 1976
  • Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике — М.: Мир, 1975.
  • Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986
  • Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов — М.: Мир, 1979. — 392 С.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Метод конечных элементов" в других словарях:

  • метод конечных элементов — Математич. м. определения распределения напряжений, деформаций и темп р в деформир. телах. Непрер. в пространстве искомую функцию заменяют конечным числом ее значений, определ. в узлах сетки. Для этого рассматрив. область разбивается на ряд… …   Справочник технического переводчика

  • метод конечных элементов — [FEM (finite element method)] математический метод определения распределения напряжений, деформаций и температур в деформируемых телах. Непрерывную в пространстве искомую функцию заменяют конечным числом ее значений, определяемых в узлах сетки.… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • Метод граничных элементов — Метод конечных элементов: триангуляция Метод конечных элементов (МКЭ) численный метод решения задач прикладной механики. Широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных… …   Википедия

  • Метод конечных объёмов — Метод конечных объёмов  численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных. Содержание 1 Описание 1.1 Неформальное 1.2 Математическое …   Википедия

  • Метод конечных разностей — Метод конечных разностей  широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению …   Википедия

  • метод штрафных конечных элементов — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN penalty finite element method …   Справочник технического переводчика

  • разностная схема конечных элементов — метод конечных элементов — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы метод конечных элементов EN finite volume difference schedule …   Справочник технического переводчика

  • Метод подвижных клеточных автоматов — Подвижные клеточные автоматы активно меняют своих соседей за счет разрыва существующих связей между автоматами и образования новых связей (моделирование контактного взаимодействи …   Википедия

  • Метод дискретного элемента — (DEM, от англ. Discrete element method)  это семейство численных методов предназначенных для расчёта движения большого количества частиц, таких как молекулы, песчинки, гравий, галька и прочих гранулированных сред. Метод был… …   Википедия

  • метод сопротивления материалов — [method of strength of materials] экспериментально расчетный метод, разработанный Г. А. Смирновым Аляевым для определения усилий и деформаций при больших (конечных) пластическая деформациях в условиях монотонной или приближенно монотонной… …   Энциклопедический словарь по металлургии

Книги

Другие книги по запросу «Метод конечных элементов» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.