Метод граничных элементов

Метод конечных элементов: триангуляция

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной механики.

Широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных полей. С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения. Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах (идея МКЭ была разработана советскими учёными ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя метод конечных элементов.

Наиболее распространенные системы КЭ анализа:

ANSYS - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

MSC.Nastran - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;

ABAQUS - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

Impact - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

NEiNastran - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;

NXNastran - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;

SAMCEF - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field.

Temper-3D - система КЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт).

COMSOL Multiphysics - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором.

Программное обеспечение, в основе которого лежит метод конечных элементов:

• ПК Лира
• SCAD
• MatLab
• FemLab

См. также

• Метод дискретного элемента
• Метод конечных разностей

Литература

• Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984
• Деклу Ж. Метод конечных элементов: Пер. с франц. - М.: Мир, 1976
• Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике – М.: Мир, 1975.
• Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986

Ссылки

• Метод конечных элементов, Трудоношин В.А., Уваров М.Ю. (Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э.Баумана, Кафедра САПР)
• Метод конечных элементов, В.В.Смирнов (Бийский технологический институт)
• AVI-галерея результатов применения метода конечных элементов (CompMechLab, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)