Кубическая функция

График кубической функции (кубическая парабола)

Куби́ческая фу́нкция в математике — это числовая функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ вида

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad x \in \mathbb{R},$

где $a \neq 0.$ Другими словами кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.

Аналитические свойства

Производная кубической функции $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ имеет вид $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. В случае, когда дискриминант $\frac{D}{4}=b^2-3ac$ полученного квадратного уравнения $f'(x)=0$ больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции $f$. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной $f''$ определяет точку перегиба $x=-b/3a$.

График

График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции $y=a x^3$ или $y=x^3$. Легко видеть, что применяя параллельный перенос можно привести кубическую параболу к виду, когда она будет задаваться уравнением $y = a x^3 - p x$. Путём применения аффинных преобразований плоскости можно добиться, чтобы $a = 1$ и $p=0$. В этом смысле все определения будут эквивалентны.

Кроме того, кубическая парабола

• центрально-симметрична относительно точки перегиба,
• всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,
• не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.

• Поведение графика при изменении коэффициентов
• 

  Коэффициент при кубе

• 

  Коэффициент при квадрате

• 

  Коэффициент при первой степени

Применение

Кубическую параболу иногда применяют для расчёта переходной кривой на транспорте, так как её вычисление намного проще, чем построение клотоиды.

См. также

• Парабола
• Кубика
• Кубическое уравнение
• Сплайн

Литература

• Л. С. Понтрягин, Кубическая парабола // «Квант», 1984, № 3.
• И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, «Справочник по математике», издательство «Наука», М. 1967, с. 84