Кубическая парабола

График кубической функции
(кубическая парабола)

Куби́ческая фу́нкция в математике — это числовая функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ вида

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad x \in \mathbb{R},$

где $a \neq 0.$ Другими словами кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.

Аналитические свойства

Производная кубической функции f(x) = ax³ + bx² + cx + d имеет вид f'(x) = 3ax² + 2bx + c. В случае, когда дискриминант D = b² − 4ac квадратного уравнения f'(x) = 0 больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции f. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной f'' определяет точку перегиба x = − b / 3a.

График

График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции y = ax³ или y = x³. Легко видеть, что применяя параллельный перенос можно привести кубическую параболу к виду, когда она будет задаватся уравнением y = ax³ − px. Путём применения аффинных преобразований плоскости можно добиться, чтобы a = 1 и p = 0. В этом смысле все определения будут эквивалентны.

Кроме того, кубическая парабола

• центрально-симметрична относительно точки перегиба,
• всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,
• не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.

См. также

• Парабола
• Кубика
• Кубическое уравнение
• Сплайн

Литература

• Л. С. Понтрягин, Кубическая парабола // «Квант», 1984, № 3.
• И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, «Справочник по математике», издательство «Наука», М. 1967, с. 84