Сферический треугольник

Сферический треугольник

Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших кругов. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым.

Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.

Свойства

• Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны^[1]:16.
• Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности^[1]:11.
• Сумма всех сторон $a+b+c$ всегда меньше $2 \pi$^[1]:11.
  • Величина $2\pi - (a+b+c)$ называется сферическим дефектом^[2].
• Сумма углов сферического треугольника $s = \alpha + \beta + \gamma$ всегда меньше $3 \pi$ и больше $\pi$^{[3][4][1]:14-15}.
  • Величина $s- \pi = \varepsilon$ называется сферическим избытком или сферическим эксцессом^[5].
  • Площадь сферического треугольника определяется по формуле $S=R^2 \varepsilon$.
• Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший $\pi$.^[1]:15.
• В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два тупых угла.

Решение сферических треугольников

Основная статья: Решение треугольников

Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними^[1]:102-139:

• Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
• Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
• Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
2. ↑ Сферический треугольник
3. ↑ Статья в Успехах физических наук
4. ↑ Weisstein, Eric W. Сферический треугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
5. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.

Литература

• Васильев Н., Гутенмахер В., Сумма углов сферического многоугольника. Квант, № 2, 1988

Ссылки

	Сферический треугольник на Викискладе?

• Краткий справочник по сферической тригонометрии.