Сферический треугольник

Сферический треугольник
Сферический треугольник

Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших кругов. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым.

Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.

Содержание

Свойства

  • Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны[1]:16.
  • Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности[1]:11.
  • Сумма всех сторон a+b+c всегда меньше 2 \pi[1]:11.
    • Величина 2\pi - (a+b+c) называется сферическим дефектом[2].
  • Сумма углов сферического треугольника s = \alpha + \beta + \gamma всегда меньше 3 \pi и больше  \pi[3][4][1]:14-15.
    • Величина s- \pi = \varepsilon называется сферическим избытком или сферическим эксцессом[5].
    • Площадь сферического треугольника определяется по формуле S=R^2 \varepsilon.
  • Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший \pi.[1]:15.
  • В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два тупых угла.

Решение сферических треугольников

Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними[1]:102-139:

  • Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
  • Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
  • Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 6 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
  2. Сферический треугольник
  3. Статья в Успехах физических наук
  4. Weisstein, Eric W. Сферический треугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Сферический треугольник" в других словарях:

  • СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, образованный пересечением на поверхности СФЕРЫ дуг трех больших ОКРУЖНОСТЕЙ (имеющих тот же РАДИУС, что и сфера). Стороны сферических треугольников измеряются в углах, которым эти дуги противолежат из центра… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — часть шаровой поверхности, ограниченная тремя дугами больших кругов. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 …   Морской словарь

  • сферический треугольник — sferinis trikampis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. spherical triangle vok. Kugeldreieck, n rus. сферический треугольник, m pranc. triangle sphérique, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Сферический треугольник —         геометрическая фигура, образованная дугами трёх больших кругов, соединяющих попарно три какие нибудь точки на сфере. О свойствах С. т. и соотношениях между его элементами (углами и сторонами) см. в статьях Сферическая геометрия,… …   Большая советская энциклопедия

  • СФЕРИЧЕСКИЙ — СФЕРИЧЕСКИЙ, сферическая, сферическое (мат., спец.). прил. к сфера в 1 знач.; шарообразный, шаровидный. Сферическое тело. Сферическая поверхность. Сферический аэростат. Сферический треугольник (треугольник на поверхности сферы). Сферическая… …   Толковый словарь Ушакова

  • Треугольник (значения) — В Викисловаре есть статья «треугольник» Треугольник в широком смысле  объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связ …   Википедия

  • Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

  • Параллактический треугольник — сферический треугольник, вершины которого составляют полюс, зенит и какое нибудь светило …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Полярный треугольник — понятие сферической геометрии. Полярным для данного сферического треугольника называется такой сферический треугольник, по отношению к сторонам которого вершины данного треугольника являются полюсами. Полюсом называется одна из двух точек… …   Википедия

  • Параллактический треугольник — (навигационный треугольник, PZX треугольник)  в астронавигации сферический треугольник на небесной сфере, вершинами которого являются полюс (P), зенит (Z), и какое либо выбранное светило (X). Применение Решение параллактического треугольника …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»