Формулы Деламбра

Сферический треугольник.

Формулы Деламбра в сферической тригонометрии выражают соотношение между всеми шестью элементами сферического треугольника — тремя сторонами и тремя углами.

Описание

Формулы Деламбра имеют следующий вид^[1]:

$~\sin \frac{\alpha+\beta}{2}= \frac{\cos\frac{a-b}{2}}{\cos\frac{c}{2}}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}$

$~\sin \frac{\alpha-\beta}{2}= \frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\sin\frac{c}{2}}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}$

$~\cos \frac{\alpha+\beta}{2}= \frac{\cos\frac{a+b}{2}}{\cos\frac{c}{2}}\cdot\sin\frac{\gamma}{2}$

$~\cos \frac{\alpha-\beta}{2}= \frac{\sin\frac{a+b}{2}}{\sin\frac{c}{2}}\cdot\sin\frac{\gamma}{2}$

Эти формулы можно непосредственно применять для решения косоугольных сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне (в обоих случаях имеем систему четырёх уравнений с тремя переменными). Однако на практике для этого чаще используются легко выводимые из формул Деламбра формулы аналогии Непера.

Подобные соотношения известны в планиметрии как формулы Мольвейде.

История

Формулы Деламбра были приведены Ж.Б.Ж.Деламбром в астрономическом ежегоднике Connaissance des Temps на 1809 год, изданном в 1807 году^[2]. Они также были упомянуты К.Ф.Гауссом в его сочинении «Теория движения небесных тел», изданном в 1809 году^[3], поэтому иногда называются формулами Гаусса^[4].

Примечания

1. ↑ Степанов Н. Н. §41. Формулы Деламбра // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 83-87. — 154 с.
2. ↑ Delambre J.B.J. Remarques sur les Formules précédentes // Connaissance des temps. — Paris, 1807. — С. 445.
3. ↑ Gauss C.F. Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis solem ambientivm. — Hamburg, 1809. — С. 51.
4. ↑ Формулы Гаусса на сайте MathWorld