Теоремы косинусов (сферическая геометрия)

Теоремы косинусов (сферическая геометрия)
Сферический треугольник.

Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Содержание

Формулировка

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

~\cos c= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C,
~\cos A = -\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos a.

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Сферический треугольник для определения кратчайшего расстояния между точками на Земле.

Следствия и применение

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

~\cos c= \cos a \cos b.

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек \varphi_A\, и \varphi_B\,, разность долгот — \Delta\lambda_{AB}\,, кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии[2]:

\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника PnAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам[3].

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

История

Теорема косинусов для сферического треугольника математиками средневекового Востока в общем виде сформулирована не была, хотя при решении конкретных астрономических задач они иногда пользовались соотношениями, равносильными этой теореме. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Впервые теорему косинусов в явном виде сформулировал в XV веке Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).

См. также

Примечания

  1. Приводится по изданию: Степанов Н.Н. Формулы косинуса стороны // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 24—28. — 154 с.
  2. Михайлов В.С., Кудрявцев В.Г., Давыдов В.С. 26.2. Основные формулы ортодромии. Способы ее задания // Навигация и лоция. — Киев, 2009.
  3. Меёс Ж. 9. Угловое расстояние между объектами // Астрономические формулы для калькуляторов. — Мир, 1988. — С. 44—46. — 168 с. — ISBN 5030009361
  4. Lee Kai Ming PHYS 2021 — The Physical Universe. — 2010. — С. 6.

Литература

  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теоремы косинусов (сферическая геометрия)" в других словарях:

  • Теоремы косинусов (Сферическая геометрия) — …   Википедия

  • Теорема синусов (сферическая геометрия) — Сферическая теорема синусов устанавливает пропорциональность между синусами сторон a, b, c и синусами противолежащих этим сторонам углов A, B, C сферического треугольника: Сферическая теорема синусов является аналогом плоской теоремы синусов и… …   Википедия

  • Формула пяти элементов (сферическая геометрия) — Рисунок к формуле пяти элементов и её доказательству с помощью проекций. Формула пяти элементов в сферической тригоно …   Википедия

  • Косинусов теорема — Теорема косинусов обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α… …   Википедия

  • Сферическая тригонометрия — Сферическая тригонометрия  раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач. Содержание 1 История …   Википедия

  • Сферическая теорема Пифагора — Прямоугольный сферический треугольник с гипотенузой c, катетами a и b и прямым углом C. Сферическая теорема Пифагора теорема, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного …   Википедия

  • Теорема косинусов — Теорема косинусов  теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора: Для плоского тре …   Википедия

  • Эксцесс (сферическая тригонометрия) — Сферический треугольник Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток величина в сф …   Википедия

  • Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия) — Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен. Формулировка …   Википедия

  • Решение треугольников — (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»